Формально самосопряженные коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 2 и их деформации, заданные солитонными уравнениями

• Автор: Давлетшина, Валентина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 59 с.

Содержание
Введение
1 Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга два
1.1 Функция Бейкера-Ахиезера ранга
1.2 Примеры коммутирующих формально самосопряженных дифференциальных операторов ранга два
2 Деформации коммутативных колец самосопряженных
дифференциальных операторов ранга два, заданные солитопиыми уравнениями
2.1 Коммутирующие операторы ранга два
и эволюционные уравнения
2.2 Случай эллиптических спектральных кривых. Иерархия уравнений Кричевера-Новикова
Заключение
Список литературы

Введение
В диссертации изучаются коммутативные кольца формально самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два.
— обыкновенные дифференциальные операторы порядков п, т ^ 2. Условие коммутации операторов Ln и Ьгп
представляет собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений на коэффициенты этих операторов.
Напомним некоторые результаты из теории коммутирующих дифференциальных операторов. Один из первых важных результатов был получен Шуром [1] в 1905 году.
Лемма 1. Пусть Ln, Lrn и £д. — дифференциальные операторы, порядков п, 77? и к соответственно (п > ). Если LnLm — LmL„ и
Пусть
Еп^к — Е-Еп, Ш'О — Ь}іЬт.
Лемма 1 означает, что множество операторов, коммутирующих с заданным оператором, образует коммутативное кольцо. Позднее в 1923 году Бурхиалл и Чаунди в [2] доказали следующую лемму.
Лемма 2. Если ЬпЬт = ЬтЬп. то существует ненулевой полипом Я(Х.у), такой что Я(Еп,Ьт) — 0.
Например, если
т г-,0 2
І2~дх~~2’ 3~ г~^ х + хЗ'
ТО 1/2 — ^3; т-е- Я = А3 — у2.
Уравнение Я(Х, у) — 0 определяет спектральную кривую Г нары коммутирующих дифференциальных операторов Ь„ и Ьт
Г = {(Л, у) : Я(Х, у) = 0} С С2.
Если ф является совместной собственной функцией
Епф = Хф, Ьтф = уф,
то точка с координатами (Х,у) принадлежит спектральной кривой Г.
Размерность пространства совместных собственных функций, для (Л. у) в общем положении, является общим делителем п и т.. Рангом I называется наибольший общий делитель всех порядков операторов из максимального коммутативного кольца, содержащего Ьп и Ьт.

Г : Fi(z) = z3 + 4(a2 - 1 )z2 + (5a-4 - 15a2 - 4)z + 7a2 - 14a4 + 2a6,
E = c*x + cos(x)(acos(x) + 4)<94 — 3asin(x)(2 + acos(x))<93+
/За4 4. , За3 з 2 2/ ч , -275 + 142a2-3a4 v,
+ (-jg- cos (ж) + — cos' (ж)-7a cos (x) 4 — Jdx+
+ sin (ж) ^ cos3(ж) — cos2(ж) + 8a2 cos(x) + 10a^ dx+
a6 6. . 3a5 5/ . 5a4 4, . 37a3 3
+—7 cos (ж) 4-----— cos' (x)-— cos (ж) — cos (ж)+
64 16 4
349a2 + 94a4 - 3a° 2/ . 37a + 118a3 - 3a
H TT COS (x) + — cos(x).

Теперь докажем, что построенные нами пары коммутирующих операторов
Е — (дх + aiex + qq)~ + д{д + l)aiex, Lg+2,
а также
rb (п'2 1 2 2/ / (2у + I)2 - а2
L = ( dx + 7acos (ж) + а cos(x) Н : j J —
-д{д + 1)(а2 cos2(х) + 2a cos(x)), Т4з+
имеют ранг два, т.е. не коммутируют с операторами нечетного порядка.
Сформулируем вспомогательную лемму.
Лемма 3 ([2*]). Пусть даны операторы
L4 = (д2х + V{x))2 + W{x),
Ln = апд'х + ап-ід? 4 + ... + а,дх + «о, аг- = flj(x).