Тривиально равномерные отображения

• Автор: Дамба Пурэвсурэн
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление
Введение

Предварительные сведения

0.1 (Псевдо)Равномерности и (псевдо)равномерные пространства

0.2 Послойная общая топология

Глава 1.

1.1 ТЧ- и 77//-отображения

1.2 Полные и вполне ограниченные 77/-отображения. Пополнения 77.'-

отображений

1.3 Пополнения Г{/-отображений при помощи минимальных фильтров Коши

1.4 Метризуемость 71{/-отображений

Глава 2.
2.1 Абсолютно вполне ограниченные У {//-отображения
2.2 Абсолютно полные 777-отображеиия
2.3 Бикомпактификации Самюэля Т{/-отображений
2.4 Описание всех параллельных бикомпактам бикомпактификации
77 '/-отображения
Литература

Введение
Диссертация посвящена послойной равномерной общей топологии, точнее, равномерностям на отображениях. Равномерности на отображениях раньше исследовали И.М.Джеймс ([17]), Б.А.Пасынков ([8], [9]) и АЛО. Зубов ([5]).
Известны три определения равномерности на отображениях, два из которых позволяют изучать равномерности на отделимо бикомпактифицируемых отображениях (И.М. Джеймс) и на любых тихоновских отображениях (Б.А.Пасынков)
Предлагаемый в диссертации подход не позволяет рассматривать равномерности на отображениях в максимальной общности как в случаях ./-равномерностей (Джеймса) и Р-равномерностей (Пасынкова), но зато он существенно более прост и все еще приложим к важнейшему случаю отображений - непрерывным отображениям между тихоновскими пространствами.
И диссертации на отображения распространяются понятия равномерности, вполне ограниченной равномерности, полной равномерности, пополнения по равномерности и приводятся две конструкции пополнения по равномерности. Определяется также аналог бикомпактификации Самюэля по данной равномерности и, при помощи перехода от вполне ограниченных равномерностей на. отображении к бикомпактификациям Самюэля по ним, даётся описание всех параллельных бикомпактам бикомпактификаций униформизуемых отображений. В частности, так описываются все совершенные расширения с тихоновской областью определения отображений между тихоновскими пространствами.
Мы пользуемся определением (псевдо) равномерности при помощи окружений.
Для (псевдо)равномерного пространства (X,7/) через тц будет обозначаться порожденная (псевдо)равномерностью Ы топология. Пополнение равномерного пространства (.Х,И) обозначается через (Х,И). Для отображения / : X —> ¥ полагаем 1т/ = /X. Для системы ф подмножеств пространства X считаем с1ф (подробнее, с1хф) = {с/Ф : Ф £ ф}.
Фиксируем пространство У с топологией т. Для точки у Є V через Л (у) будем обозначать систему всех ее окрестностей.
Пункт 1.1 главы 1 содержит основные начальные определения и результаты о тривиально равномерных отображениях.
Определение 1.1. Пусть дано отображение / множества X в пространство Y. Тривиальной (кратко, Т-) псевдоравномерностью на f назовем любую псевдоравномерность на. А'. Тривиальной (кратко, Т-)равномерностью на / будем называть псевдоравномерность на X, такую, что ее ограничение на каждый слой /—1 г/, у Є У, является равномерностью на этом слое. Топологией r(U, f)
(порожденной 'Г-псевдоравномерностыо, в частности Т-равномерностью. U на /) будем называть топологию на X с предбазой Ти U /_1г.
Предложение 1.1. Отображение / : (X,t(U, /)) —> V непрерывно и вполне регулярно, а если К єсть Т-равномерность на /. то / есть еще и То- и, следовательно, тихоновское отображение.
Определение 1.2. Пару (f,U), состоящую из отображения / и Г-равномерности U на нем, будем называть тривиально равномерным (кратко, TU-) отображением.
Если (J.U) есть 7'Г-отображение. А" С Лг и /' = fx> : Xі —> Y, то. очевидно. (/', Up), rppUfi = Ux’. является Т{/-отображением. Равномерность Ы/< будем называть ограничением равномерности Ы на подотображение f.
Все тривиально равномерные отображения (f,U) : X —* У ,для фиксированного пространства Y, составляют класс всех объектов категории TUnify. Для объектов (JM) : X —У Y и (f:U’) : Xі -»■ У' этой категории, морфизм А : (/,{/) —> (f,W) есть такое отображение А : X -А А'', что / = /' ° А и отображение А : (Х,Ы) —> (Xі, W) равномерно непрерывно. Если, дополнительно, отображение А биективно, а отображение А-1 является морфизмом (f',W) в (f,U), то назовем его изоморфизмом между Т{/-отображениями (/,И) в (f.W).
Морфизм А : (f,U) —> (g, V) для ТІ '-отображений (f.U) : А' -э Y и (g,V) : Z —¥ Y будем называть плотным, если ДА" плотно в (Z.r(V,д)). Очевидно, если

есть изоморфизм между (f,U) И Тт(е) — (tlm(e),U^xu,U>)Um(e))- Докажем, ЧТО отображение е иньективно. Пусть х,х' £ X и х ф х', у = f{x) ~ J(x'). Рассмотрим ограничение Uf-iy. Так как U есть равномерность на /-|у, то существует окружение U0 £ U такое, что (х,х') (j Uo П (/—1 г/ х /_1у), тогда (х,х') ^ {у». Отсюда тгм(ж) ^ тти(х'). следовательно, е(х) - (у,тги(х)) ф (у, трДт')) — е(х'). Поэтому коограничение d = сог(е) биективно и существует обратное отображение d~l : Im(e) —> (f,U). Проверим, что d~l является морфизмом. Очевидно.
/ о d~1 = /. Пусть U £ Ы. Тогда (d~l х d-'f'U = (d х d)U = (е х e)U = (е х е)Х П (p2Xu)1{p2Xbi){e2U) = е2А П (р2Хи )~1(кии) € Цл-и,М1)|1т(е). Следовательно, отображение rf-1 равномерно непрерывно.
Доказательство в случае отображения се аналогично проведенному. □
Определение 1.3. Непрерывное отображение / : X —> У' назовем тори-виально (псевдо) униформизуемым (кратко, (Тф1Л-)Т1 И-отображением), если на f существует униформизующая его 7 '-(псевдо)равномерность И, т.е. т(И, /) совпадает с топологией пространства А (т.е. тц есть база отображения /).
По предложению 1.1., Тфиt-отображение вполне регулярно, a TUt-отображение является тихоновским.
Проверим, что подотображение (TipUt-)TUt-отображения (JU) : А' —> Y является (Тф1Н-)ТЩ-отображением. Пусть X' С А. /(окажем, что для /' = /х< и U' = Uf>. = Ux' отображение (/')U') есть (Т/Ш/ДТШ-отображение. Для этого надо доказать, что Тц> есть база отображения /'. Пусть .г £ А' и х £ О' = О ПА', где 0 £ ту. Так как т*/ есть база отображения /. то существуют G £ т и V £ т. такие, что х £ V П f~lG С О. Отсюда х £ V П А' П f~'G С О П А' = О1 и V П А' £ Tu’. Следовательно, тц> есть база отображения /'. Значит W есть униформизующая отображение f (псевдо)равномерность.
Замечание 1. Из леммы 1 следует: для /’{'/-отображение (f,U) : А —Э Y отображения е и се являются топологическими вложениями непрерывного отображения / : (А, т(1А, /)) —> У в непрерывное отображение / = /(ЛД,/Д) : (К х Аи,тщхим»)) Y и 7- /(Xu,W) : (Y х Хи,ТщКи,й>)) Y- Поэтому это
непрерывное отображение параллельно пространствам (Aи,Tut) и (Ams^i)-