Римановы метрики положительной кривизны Риччи на многообразиях с торическими действиями

• Автор: Матвиенко, Иван Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 59 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Определения и предварительные сведения
1.1 Квазиторические многообразия
1.2 Момент-угол многообразия
1.3 Квазиторические орбифолды
1.4 Кривизна Риччи и римаповы субмерсии
2 Четырехмерные квазиторические многообразия положительной кривизны Риччи
2.1 Конструкция метрики на универсальном пространстве
2.2 Положительность кривизны Риччи
3 Момент-угол многообразия положительной кривизны Риччи
3.1 «Хорошие» квазиторические орбифолды
3.2 Раздутие многообразий положительной кривизны Риччи в особых
точках
3.3 Построение римановых метрик положительной кривизны Риччи
3.4 Поднятие метрики на момент-угол многообразие с сохранением положительности кривизны Риччи
Литература

Введение
Цели и результаты работы
Целью настоящей работы является построение римаповых метрик положительной кривизны Риччи на многообразиях с действием компактного тора Тп.
Одной из важных и интересных проблем римановой геометрии является задача о' связи свойств кривизны и топологического строения риманова многообразия. Ставший классическим вопрос о топологии римановых многообразий положительной секционной кривизны, как показывает опыт, является весьма сложным; гораздо более слабое свойство положительной скалярной кривизны практически не доставляет геометрических ограничений. Промежуточный вопрос о многообразиях положительной кривизны Риччи представляется в этом свете весьма правильно поставленным: с одной стороны, это свойство значительно слабее свойства положительности секционной кривизны, и известны серии примеров; с другой стороны примеров не так уж много и задача представляется нетривиальной.
Классическими примерами многообразий положительной кривизны Риччи являются нормально однородные пространства с конечной фундаментальной группой н их римановы произведения, например Sn, СРп, Sn х Sm.
Более сложные топологические типы впервые были сконструированы Дж. Ша и Д. Янгом [19] в 1991 г. Они построили метрику положительной кривизны Риччи на связных суммах любого числа Sn х Sm при фиксированных п, тп:
#kSn х Sm V/г > 1 Vn, то > 2.
Этот результат показал неограниченность чисел Бетти многообразий положительной кривизны Риччи при фиксированной размерности (что находится в контрасте с положительной секционной кривизной).
Подход Дж. Ша и Д. Янга оказался продуктивным. Д. Рейт [22] в 2007 г. обобщил их результат для связных сумм произвольных Sn> х Sm>:
#i-i Sn% x S’n" Vk > 1 Vrij, to, >2, n, + m, = const.
В основе обеих работ лежит метод хирургии с сохранением положительности кривизны Риччи.

На связных суммах двух комплексных проективных пространств:
СРп# ± СРп
известна метрика Нигера [7| неотрицательной секционной кривизны, для которой, как очевидно, кривизна Риччи является положительной.
Метрики положительной кривизны Риччи на связных суммах произвольного числа комплексных проективных пространств известны лишь в размерности четыре. Дж. Ша и Д. Янг [20] в 1993 г. показали, что связные суммы СР2 и СР“
/сСР2#/СР2 УА, I > О
обладают метриками положительной кривизны Риччи. Чуть позже, в 1997 г. Г. Перельман [16] частично повторил этот результат, построив метрики на связной сумме одинаково ориентированных проективных пространств:
фкСР2 УА > 1.
Все вышеупомянутые примеры в четной размерности 2п допускают действие компактного тора Тп = 511 х... х 51. В связи с этим возникает вопрос о существовании метрик положительной кривизны Риччи в более общих классах многообразий с действием Тп.
Объектом исследования насюящей работы являются квазиторические и момент-угол многообразия. Эти два класса многообразий впервые были введены М. Дэвисом и Т. Янушкиевичем в [8] в 1991 г. Их топология тесно связана с комбинаторикой выпуклых многогранников. До сих пор они изучались в основном с точки зрения алгебраической топологии. В этом свете изучение свойств кривизны квазиторичсских и момент-угол многообразий представляет весьма интересным.
Целью работы является построение метрик положительной кривизны Риччи на некоторых квазиторичсских и момент-угол многообразиях.
Диссертация состоит из трёх глав и десяти разделов. Далее мы рассмотрим вкратце содержание всех разделов, введём базовые определения и сформулируем основные результаты.
Глава 1 содержит определения и понятия, необходимые в дальнейшем. Значительное внимание уделяется квазиторическим и момент-угол многообразиям, их взаимосвязи и базовым фактам о геометрии пространств. Кроме того, мы введём квазиторические орбифолды как многообразия с особенностями, которые появляются в качестве естественного обобщения для квазиторических многообразий. В конце главы мы напомним некоторые факты римановой геометрии и элементы теории римаповых субмерсий, что значительно пригодится в дальнейшем при построении метрик положительной кривизны Риччи.

С1, это сделать возможно. Далее, как следует, например из 1.174, [2| тензор кривизны Риччи является дифференциальным оператором, линейно зависящим от вторых производных метрики, значит если такое сглаживание мало, то кривизна останется положительной. Теорема 2.1 доказана.