Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня

• Автор: Новиков, Дмитрий Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Случай Соколова на о(3)
1.1 Введение
1.2 Бифуркационные значения гамильтониана
1.3 Топология изознергетичеекон поверхиосги
1.4 Бифуркационная диаграмма отображения момента
1.5 Индексы критических точек
1.6 Доказательство полноты векторных по.тей г^гас! II и sgrad К .
1.7 Топология совместной поверхности уровня II и К
1.8 Перестройки
2 Случай Соколова на ?о(3.1)
2.1 Введение
2.2 Бифуркационные значения гамильтониана
2.3 Топология изо'-ш ер готической поверхности
2.4 Бифуркационная диаграмма отображения момента
2.5 Неполнота поля .чцгаг! Н
2.6 Индексы критических точек

2.7 Топология совместной поверхности уровня II п К
Литература

Введение
Описание работы
Актуальность темы
Диссертационная работа посвящена исследованию топологических особенностей интегрируемого случая В. В. Соколова (далее - случай Соколова) на алгебрах Ли е(3) и эо(3,1). Это гамильтонова система с двумя степенями свободы. Указанные случаи отличаются от большинства известных систем тем, что совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла являются некомпактными, а в случае ьо(3,1), кроме того, поток гамильтониана является неполным.
Основы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем были заложены А. Т. Фоменко в работах [1], [2], [3], [4], [5] и других. Указанный новый подход в изучении интегрируемых систем, предложенный А. Т. Фоменко, был затем продолжен А. Т. Фоменко и X. Цишангом, см., например, работу А. Т. Фоменко и X. Цишанга [С]. Ими был открыт топологический инвариант интегрируемых систем (именуемый инвариантом Фоменко-Цишанга). Это граф с числовыми метками, являющийся полным инвариантом таких систем: две системы лиувиллево эквивалентны, если и только если

плоскости с ручкой мы получим диск с двумя дырками (все открытое). Но у нас утолщенный тор с двумя выброшенными точками, что то же самое, что и диск с тремя дырками, умноженными на К.
Рис. 1.5: Фигура из прямого произведения
Итак, нами доказана следующая
Теорема 2. Топология изоэнергетической поверхности уровня С^3д н при регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационным значениям гамильтониана Н, (д, /г) имеет следующий тип:
1. 2М3 при /г < ——;

2. Двумерный диск с тремя дырками, умноженный наШ, при Ь> ,
,>¥-1 _ 4“ + 4а ' * '