Топологические методы в теории неподвижных точек и совпадений

• Автор: Фоменко, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 213 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Степени и индексы эквивариантности отображений когомологических сфер с действиями конечных и некоторых компактных групп
§1. Предварительные сведения.Теория Смита и метод спектральной последовательности Бореля
§2. Индексы эквивариантностп: алгебраические свойства, вычисление и условия тривиальности
§3. Эквивариантные отображения относительно действий двух различных конечных циклических групп
§4. Эквивариантные отображения когомологических сфер с
действиями конечных п некоторых компактных групп
ГЛАВА 2. Гомотопические методы минимизации множества неподвижных точек эквивариантных отображений
§1. Подготовительные сведения
§2. Основные результаты
2.1. Эквивариантная конструкция Хопфа
2.2. Склеивание неподвижных нильссн-эквивалентных орбит и уничтожение несущественных классов иильсена
2.3. Перемещение неподвижных орбит, слабо связанных с орбитами других изотропическпх типов
2.4. Подсчет наименьшего числа неподвижных точек эквивариант-ного отображения
ГЛАВА 3. Минимизация совпадений в положительной коразмерности

§1- Основные результаты
§1. Устранение размерностных ограничений
ГЛАВА 4. Метод каскадного поиска и его приложения
§1. Случай непрерывных отображений
1.1. Формулировки задач
1.2. Приближение к прообразу подпространства
1.3. Приближение к точкам совпадений набора отображений
1.4. Приближение к общим неподвижным точкам конечного набора отображений
§2. Принцип каскадного поиска: однозначная версия, применения .
§3. Принцип каскадного поиска: многозначная версия и ее приложения
3.1. Общий принцип и приложение к каскадному поиску прообраза подпространства
3.2. Приложение к каскадному поиску совпадений п многозначных отображений
3.3. Каскадный поиск общих неподвижных точек п многозначных отображений
§4. Каскадный поиск по графику отображения и его применения _
ГЛАВА 5. Устойчивость каскадного поиска
§1- Слабая устойчивость метода каскадного поиска
1.1. Слабая устойчивость по отношению к малому изменению начальной точки
1.2. Слабая устойчивость по отношению к малому возмущению поискового функционала
§2. Сильная устойчивость каскадного поиска
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ.
§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ.
Диссертация посвящена теории неподвижных точек и совпадений отображений топологических пространств. В работе исследуются вопросы, связанные с тремя аспектами этой теории: существованием неподвижных точек и совпадений, их минимизации, а также их аппроксимации.
В первой главе диссертации развита теория введенного ранее автором индекса эквивариаитности отображений когомологических сфер, перестановочных с действиями конечной группы.
G-когомологической п-мерной сферой называется топологическое пространство, когомологии которого с коэффициентами в группе G совпадают с когомологиями стандартной п-мернон сферы.
Пусть X - Zfc-когомологическая м-сфера, Д Т : X —>■ X - гомеоморфизм, задающий действие группы Ж*, на X, то есть Tk = idx■ Напомним, что действие Т группы Ж*, называется свободным, если Tq(x) ^ х, х Е X, q = 1,2,...,к — 1. Действие Т полусвободно, если оно свободно вне множества F = {а; € X Т(х) = х} неподвижных точек.
Впервые гомологическими методами задача вычисления степени эк-вивариантного отображения в описанных условиях изучалась при G = Z* и простом к в семинаре П.А.Смита (P.A.Smith) [24], результаты которого получили название теории Смита. Вся теория была распространена затем на случаи любого к > 2 и полусвободного действия группы Zfc Я.А.Израилевичем в [13] и развита в работах Я.А.Израилевича и
Э.М.Мухамадиева [15] и Я.А.Израилевича [13].
Один из основных результатов теории Смита утверждает, что множество F, F С X неподвижных точек полусвободного действия группы Ък на Ж^.-когомологическон n-сфере также является Ж^-когомологичегкой сферой размерности п.
В теории Смита вводятся так называемые индексы Смита, и степень degf эквиварпантного отображения F : X —» X вычисляется (по модулю к) через эти индексы и степень сужения отображения / на подмножество F неподвижных точек заданного действия группы Zk.
Задачи, связанные с вычислением степени эквивариантных отображений относительно неполусвободных действии группы Ж к, а также перестановочных с действиями двух различных конечных циклических групп, не укладываются в теорию Смита.

Глава
Степени и индексы эквивариантности отображений когомологических сфер с действиями конечных и некоторых компактных групп.
§1.ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ТЕОРИЯ СМИТА И МЕТОД СПЕКТРАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БОРЕЛЯ.
Пусть X - паракомпактное хаусдорфово (или локально компактное конечной комбинаторной размерности) пространство с конечно-порожденными когомологиями Александрова-Чеха.
Пространство X называется С-когомологической п-еферой, если его когомологии с коэффициентами в группе С? совпадают с когомологиями стандартной п-мерной сферы.
Пусть X - ^-когомологическая п-сфера, и Т : X —> X - гомеоморф-ное действие на X единицы группы 2*,, к > 2. Напомним, что действие Т называется свободным, если ТДх) ф х, х € X, у = 1, 2,..., к — 1. Действие Т полусвободно, если оно свободно вне множества Р = {ж е А' | Т(х) = х} неподвижных точек. Везде ниже в этой главе, если не сказано другое, группы когомологий рассматриваются с коэффициентами в 2*.
Как уже говорилось во Введении, впервые гомологическими методами исследование эквивариантиых отображений (ко)гомологических сфер с действиями конечных циклических групп проводилось в теории Смита. Основными в теории Смита являются следующие длинные точные когомологические последовательности:
+ Н'а НХ) -Ф Н © Н‘(Р) Я’+1 ■ ■ •

Н*(Х) Я' е Я* (Я) я*+
где Я*, Щ - группы когомологий так называемых специальных комплексов Смита, связанных с коцепньш действием операторов
8 = 1-Т,о = 1 + Т+---+ Тк~г,