Вполне геодезические подмногообразия в плюккеровой модели вещественных грассманианов

• Автор: Никанорова, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 63 с.

1 Представление алгебры Ли ортогональной группы 50 (К4)
во внешней алгебре А (К4)
2 Некоторые геометрические вопросы модели многомерного комплексного проективного пространства
3 Конструктивное построение канонического разложения касательного вектора к многообразию Грассмана
4 Классификация двумерных вполне геодезических поверхностей в многообразии
Список работ автора по теме диссертации
Список литературы

Настоящая работа посвящена изучению геометрии вещественных грас-смановых многообразий С^п, образованных ориентированными р-мерными плоскостями га-мерного евклидова пространства Мп. Ряд фундаментальных результатов в области внутренней геометрии грассманианов содержится в классических работах [29, 1, 2, 3, 8|. В частности, доказана единственность с точностью до множителя 50(п)-ин вариантных метрик на многообразиях (7+„ (кроме (р, п,) = (2,4)) [29], получены дифференциальные уравнения геодезических в некоторой специальной системе координат и оценки кривизн вещественных, комплексных и кватернионных грассмановых многообразий [1, 2, 3]. В цикле работ [9, 33, 23, 24, 30, 35, 30] проведено исследование геометрии грассманианов 6ДП методом их плюккерова вложения во внешнюю алгебру Л(К"), точнее, в пространство р-векторов ЛДМ”). Для специального вида поливекторов данного пространства определено их каноническое разложение в сумму простых р-векторов [23]. На основании этого разложения построена теория стационарных углов между ориентированными р-плоскостями в евклидовом пространстве Мп и исследованы глобальные свойства внутренней метрики грассманианов С£п, в частности, получены явные формулы для геодезических и кривизн Римана [23, 35]. Некоторые результаты, связанные с внешним строением грассманианов, могут быть отнесены к теории калибровок [20, 22, 13].
Известно, что все полные компактные римановы симметрические проетрапетва могут бить вполне геодезически вложены в многообразия С^п для достаточно больших рип ([27]). Ранее полная классификация двумерных^ также полных и максимальных по включению вполне геодезических подмногообразий грассмаиианов была проведена для грассмановых много-об]>азий б'з „ |27, 4, 5]. При этом применялся стандартный метод Каргана для исследования однородных симметрических пространств. Вполне геодезические подмногообразия нулевой кривизны в произвольных грассма-нианах си классифицированы при помощи плюккерова вложения в [35]. Каждая вполне геодезическая двумерная поверхность нулевой кривизны является плоским тором и может быть представлена как замыкание полной геодезической многообразия Грассмана.
Целью данной диссертационной работы является дальнейшее развитие и применение метода плюккерова вложения для исследования как самих вещественных грассмаиианов, так и многомерных комплексных проективных пространств, естественно вкладывающихся в грассманианы бивекторов С?2,„ [Ю, 13|.
В первой части работы в процессе изучения необходимого технического аппарата построена модель алгебры Ли группы 50(4) в пространстве бивекторов Лг(М4) (теорема 1.3).
Во второй главе изучаются связи между комплексной структурой многообразий СРк~1 и их римановой геометрией при помощи вполне геодезического вложения данных многообразий в грассманианы [13]. Для
произвольной двумерной площадки а в касательном пространстве к многообразию СРк~х получена инвариантная геометрическая интерпретация

пространство Ілп{еіЛті2, е2Ап;)}, но вектор X не может являться такой линейной комбинацией. Во втором случае для Ьу собственному числу А2 = ц соответствует собственное подпространство Ьіп{ез Л п2, Є2 Л Пі}, что также не подходит.
г) собственное число А2:
У = цхе2 Л п3 + ц2е3 Л п2
пара (Х,У) не может удовлетворять условиям теоремы 4.1 аналогично пункту в).
Рассмотрим случаи совпадения каких-то из перечисленных собственных чисел. Поскольку 0 < Аі < Аг, то (Аі + Аг)2 и А| не могут совпасть пи с какими другими собственными числами. Следовательно, единственный случай совпадения возможен при (Аг — Аі)2 = А2, т.п., Аг — Аі = Ах, Аг = 2Аі, но А2 + А^ = 1, значит,
1 . 2 1
Аі = -т=, А2 = X = —=ех Л щ + —=е2 Л п2.
V 5 У5 У5 У5
При этом для Ьх собственному числу і соответствует собственное подпространство
Ьіп{еі Л п2 + е2 Л Пі,ех Л п3, е3 Л пі},
следовательно,
У = еі Л {цп2 + д2пз) + (ще2 + ц3е3) А Щ.
Если ці = ц2 — 0 или Ці = ц3 = 0, то каноническое разложение вектора У будет содержать одно слагаемое, что противоречит теореме 4.2; значит
V + Аг > 0 у/ц[+~цI >