Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах ЛИ малой размерности

• Автор: Кремлев, Антон Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Рубцовск
• Количество страниц: 146 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Классификация вещественных алгебр Ли размерности <

1.2 Однородные римановы многообразия, группы Ли с левоинвариантными римановыми метриками, метрические алгебры Ли

1.3 О локализации собственных значений

1.4 О кривизне Риччи

2 Кривизна Риччи на четырехмерных унимодулярных группах Ли

2.1 Четырехмерные разложимые унимодулярные алгебры Ли

2.2 Четырехмерные неразложимые унимодулярные алгебры Ли

3 Кривизна Риччи на четырехмерных неунимодулярных группах Ли

3.1 О двух нулевых собственных значениях оператора Риччи
3.2 Четырехмерные разложимые неунимодулярные алгебры Ли
3.3 Четырехмерные неразложимые неунимодулярные алгебры Ли
4 Кривизна Риччи на пятимерных нильпотентных группах Ли
4.1 Кривизна Риччи на пятимерных нильпотентных группах Ли
Литература

Введение
Данная диссертация посвящена классификации возможных сигнатур оператора Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах Ли. Хорошо известно, что различные ограничения на кривизну риманова многообразия позволяют получить информацию о его геометрическом и топологическом строении. Ярким примером этого является теорема Майерса, утверждающая, что полное риманово многообразие с положительной кривизной Риччи является компактным и имеет конечную фундаментальную группу [46].
Для однородных римановых многообразий кривизна Риччи еще более информативна. Например, согласно теореме Вохнера однородное риманово многообразие отрицательной кривизны Риччи обязано быть некомпактным [30]. Для заданного однородного пространства С/Н (где Н — компактная подгруппа группы Ли (7) естественно попытаться отыскать общие свойства оператора Риччи для всевозможных (-инвариантных римановых метрик на пространстве С/Н. Эту проблему молено уточнить и конкретизировать разными способами. Один из возможных вариантов — рассмотреть следующий вопрос: каковы возможные сигнатуры операторов Риччи С-инвариантных римановых метрик на однородном пространстве С/Н?
Есть основания надеяться на то, что для пространств малой размерности этот вопрос может быть полностью разрешен. Благодаря работе Дж. Мил-нора [45] мы знаем ответ на этот вопрос в размерности не больше 3. Работы [28, 38, 50] дают ответ на поставленный вопрос для всех четырехмерных однородных пространств, отличных от групп Ли. Частичные результаты для групп Ли получены в работах Дж. Милнора [45], Ф. Набоннана [47], И. Дотти [36], Д. Чена [32] и др.

Данная диссертация посвящена изучению возможных сигнатур оператора Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли и пятимерных нильпотентных группах Ли.
В работе Ф. Набоннана [47] доказана нереализусмость сигнатур (+, + , 0,0) и (+, +, +, +) в качестве сигнатуры оператора Риччи левоинвариантных метрик на четырехмерных группах Ли. Аналогичный результат получен в недавней работе'Д. Чена [32]. Результаты настоящей работы существенно обобщают и уточняют это утверждение.
Напомним, что метрической алгеброй Ли называется пара (д, С}), где д — вещественная алгебра Ли, & ( — некоторое скалярное произведение на д. Произвольная левоинвариантная риманова метрика р на группе Ли С определяет скалярное произведение на алгебре Ли д группы С, и наоборот, каждое скалярное произведения на д индуцирует левоинвариантную метрику р на группе С. Если отождествить элементы алгебры Ли д с левоинвариантными векторными полями на группе Ли Є, то нетрудно получить в терминах метрической алгебры Ли (д, (Д формулы для вычисления основных характеристик кривизны риманова многообразия (С,р) [5].
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе — номер раздела, третье — номер утверждения данного типа. Для таблиц и формул используется сплошная нумерация.
В первой главе диссертации приводятся необходимые сведения о метрических алгебрах Ли и локализации собственных значений симметрических операторов.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию сигнатур кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимоду-лярных группах Ли и основана на совместной с Ю.Г. Никоноровым работе [17].

Хі = — х(5а2 + (а + З)2) < О,

В = + а + (а:2 + а + 1) < О,
С = -1(а-1)2(2а + 1)2(2 + а)2.

Очевидно, что С < 0 для всех а Є (—1, —1/2). По предложению 1.3.2 сигнатурой оператора Риччи является (—, —, —, +).
Для (а,Ь,с;с1) = (1,1,0,0) характеристический полином матрицы оператора Риччи имеет вид
Р(х) = х(х — хі)Н(х) = х(х — х)(х2 + В),

х± — ——(4(<т2 + 1) + (а + I)2) < 0,
в = -1(а-1)4.
Для всех а Є (—1,—1/2] имеем В < 0. Очевидно, сигнатурой оператора Риччи является , 0, +).
Для (а,Ъ,с,с1) = (1,1,1,1) характеристический полином матрицы оператора Риччи имеет вид
Р(х) = (х — хі)Н(х) = (х — х)(х3 + Вх + С),

Хі = + 1) + (2ск + I)2) < 0,

В = ——(о;2 + а -Ь 7) (а2 4- ос -Ь 1) <0,

С = — 1)2(2о: + 1)2(2 + а)2.
Ясно, С > 0 для всех а Є (—1,—1/2). По предложению 1.3.2 сигнатурой оператора Риччи является (—, —, +, +).
Для (а,Ь,с,с1) = (1,0,0,0) характеристический полином матрицы оператора Риччи имеет вид
Р{х) = х3[х + 2(а2 + а + 1)).