Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства

• Автор: Полякова, Катерина Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Калининград
• Количество страниц: 105 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

А. Исторический обзор

Б. Описание работы и результатов

ГЛАВА 1. Поверхность проективного пространства в репере нулевого порядка

§ 1. Структурные уравнения

§2. Фундаментальный объект высшего порядка

§3. Центропроективная связность

§4. Оснащение Бортолотти и индуцированные связности

§5. Объект деформации

§6. Вырожденные параллельные перенесения
§7. Параллельные перенесения произвольного направления
§8. Параллельные перенесения нормали 2-го рода
§9. Протосвязность
§10. Параллельные перенесения касательного направления
ГЛАВА 2. Поверхность проективного пространства в репере первого порядка
§ 1. Расслоение, ассоциированное с поверхностью
§2. Расслоение голономных линейных реперов
§3. Связность в ассоциированном расслоении

§4. Оснащение Э.Картана, нормализация А.П.Нордена
и композиционное оснащение
§5. Индуцированные связности трех типов
§6. Тензоры деформации
§7. О неподвижности гиперплоскости Бортолотти
§8. Тензор параллельности
§9. Абсолютные параллельные перенесения нормали
2-го рода и плоскости Картана
§10. Перенесение А.П.Нордена
§11. Перенесение А.В.Чакмазяна
§12. Перенесение направления общего положения
§13. Коаффинное параллельное перенесение
§14. Сильное перенесение нормального направления
ГЛАВА 3. Поверхность проективного пространства в репере второго порядка
§1. Ассоциированное расслоение
§2. Объекты связности и кривизны
§3. Композиционное оснащение и индуцированные связности
§4. Тензор деформации
§5. Условия совпадения индуцированных связностей
§6. Тензор параллельности
§7. Параллельные перенесения оснащающих плоскостей
§8. Линейные параллельные перенесения
§9. Нелинейные параллельные перенесения
Библиографический список.

ВВЕДЕНИЕ А. Исторический обзор
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также применение этой теории при исследовании погруженных многообразий. Теории связностей положила начало в 1917 г. работа Леви-Чивита [58] о параллельном перенесении касательного к поверхности вектора в римановом пространстве. Эта идея сразу нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В частности, сформировалось понятие аффинной связности. Э.Картан касательные векторные пространства дифференцируемого многообразия заменяет аффинными или проективными пространствами и задает отображения соседних пространств друг на друга, что приводит к пространствам аффинной и проективной связностей. В.В.Вагнер [1] и Ш.Эресман [56] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.
Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов
Э.Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф.Лаптева
[8]. В своих исследованиях Г.Ф.Лаптев придерживался локальной точки зрения, однако, благодаря применяемому методу, полученные результаты фактически приобретают глобальный характер. Одновременно с развитием общей теории погруженных многообразий Лаптев изучал пространства с фундаментально групповой связностью, Им было введено и развито понятие многообразия геометрических объектов, т.е. многообразия расслоенной структуры, снабженного полем образующего элемента, и изложены основы теории дифференциальной связности в многообразиях геометрических элементов, созданной с помощью введения определяющих связ-

Таким образом, из формулы (1.8.10) с учетом (1.8.9) видно, что касательная плоскость к поверхности Х° вдоль рассматриваемых асимптотических линий постоянна. Таким свойством обладают линии плоской образующей тангенциально вырожденной поверхности.
Опишем параллельные перенесения нормали 2-го рода Мт.ь задаваемые подсистемами системы (1.8.7) в различных связностях.

Выражение для дифференциалов точек ЭД относительно связности Г принимают вид:
а^=(...)1^+ул*ва+ё1А,

где формы 0; получены из форм 0; с учетом охватов (1.4.3,4).
Теорема 1.8.1. Нормаль 2-го рода 1Чт.1 переносится параллельно в ли-
нейной связности Гф , когда она смещается в касательной плоскости Тт.

Теорема 1.8.2. Линейная комбинация связности Г [48] характеризуется параллельным перенесением нормали Кт.ь заданным системой уравнений (1.8.72), когда она смещается в гиперплоскости Рп_ь а также вырожденным (1-го типа) параплельным перенесением нормали Ыт_ь заданным системой (1.8.7з), когда она неподвижна.

Относительно связности Г выражение (1.8.2) для дифференциалов точек N. запишем
сШ;=(...)! 8(+ V А] Ва+(01 +щ|^аУ)А.
Теорема 1.8.3. Параллельное перенесение плоскости N^1, осуществляемое при смещении ее в касательной плоскости Тт, является геометри-

ческой интерпретацией как линейной связности Гф (уравнения перенесе-