О строении окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости, допускающей первое приближение

• Автор: Мычка, Евгений Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Пространство ЛДС и пространства класса Асеи(Х)

1.1 Определение ЛДС

1.2 Пространства класса Асеи(Х)

1.3 Построение пространства Е класса Асеи(Х) по ЛДС

1.4 Построение ЛДС по пространству 2 класса Асеи(Х)

1.5 Взаимно однозначное соответствие между пространствами ££{Х) и Асеи(Х)

1.6 Гомеоморфизм между пространствами А/?(Х) и Асеи(Х)

Глава 2. О строении окрестности ИСТ ЛДС на плоскости

2.1 Предварительные определения и замечания

2.2 Построение сечения
2.3 Параболический сектор
2.4 Гиперболический сектор
2.5 Эллиптический сектор
2.6 Правильные параболические и гиперболические секторы
2.7 Правильные окрестности
Глава 3. О строении окрестности ИСТ ЛДС на плоскости, допускающей первое приближение
3.1 Введение
3.2 Замена переменных в проколотой окрестности
3.3 Предварительные утверждения
3.4 Случай центра и фокуса пространства Zca
3.5 Случай устойчивых параболических секторов пространства Z00

3.6 Случай, когда пространство Д*, является пространством решений двумерной системы уравнений у' — Ау
Глава 4. Об асимптотике решений ЛДС, допускающих первое приближение
4.1 Доказательство утверждения
Список литературы

Введение.
Диссертация подготовлена на кафедре общей топологии и геометрии Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к общей топологии, к качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также к асимптотическим методам в теории ОДУ и систем уравнений.
Актуальность темы. В настоящей диссертации применяется аксиоматический метод к исследованию окрестности изолированной стационарной точки (ИСТ) локальной динамической системы (ЛДС) на плоскости. Исследование ведется в рамках аксиоматической теории ОДУ, предложенной
В. В. Филипповым и развитой в работах [1-6].
Теория В. В. Филиппова работает в основном с более широкими объектами, однако некоторые объекты этой теории исследовались еще раньше такими известными математиками как М. Бебутов, В. В. Немыцкий, Б. К. ЕагетЬа, Е. А. Барбашин, А. Ф. Андреев, Ю. С. Богданов и др. Отметим относительно недавний результат, полученный Л. С. Сугаиповой в [7], который говорит о том, что аксиоматики ЕагетЬа и Е. А. Барбашина задают равносильные объекты.
Аксиоматический подход В. В. Филиппова расширяет область применения своих результатов. Введенное понятие “сходимости пространств решений” позволяет изучать зависимость решений от параметров в правой части уравнений, исследовать асимптотические свойства решений в окрестности ИСТ при £ —> оо, включая свойство устойчивости но первому приближению, а также другие свойства решений в случаях, не охватываемых классической теорией (см. [8, стр. 265]).
Известная монография [9] А. Ф. Филиппова посвящена дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью. Подобные уравнения возникают в задачах механики, электротехники, теории автоматического управления и в других областях науки. Ввиду наличия такого большого числа прикладных задач и связанных с ними дифференциальных уравнений с разнообразными особенностями, развитие аксиоматического метода является особенно актуальной задачей.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
— Построен гомеоморфизм между пространством Л?(Х) ЛДС и пространством Асеи(Х).

II. Теперь докажем, что найдется такое ТУ, что для всех п > N все области НРп будут правильными. Предположим обратное, т. е. найдется такая последовательность точек рт, стремящаяся к точке д, что каждая область НРт является неправильной. Последнее означает, что в каждой области НРт найдется траектория, начинающаяся на дуге шРтЬ С С и заканчивающаяся на дуге ааРт С С. Обозначим ее через дт{€). В силу того, что траектория дт{Ъ) лежит в области НРт, а рт стремится к точке д, па траектории дт(1) можно найти такую точку гт, чтобы последовательность точек гт сходилась к точке д (для этого достаточно рассмотреть произвольную кривую Т1 О НР1, соединяющую точку д с точкой р, и в качестве гт брать точки пересечения траектории дт(б) с кривой 7'). Рассмотрим последовательность точек гт. Она противоречит утверждению, доказанному в пункте I, так как все траектории дт(Ь) являются неправильными. □
Лемма 2.8. Пусть в гиперболическом секторе Н дана правильная область Нр и точка г £ (ад У дЬ) (г ф а, г ф Ъ, г ф д) на боковой стороне. Тогда найдется такая ее окрестность Ог, что для любой точки в £ Ог Р) Н будут выполнены следующие условия: а8 £ аар, ш3 £ шрЪ.
Доказательство. I. Докажем, что найдется окрестность точки г, не содержащая точек, лежащих на эллиптических траекториях. Предположим противное. Тогда найдется последовательность функций гп £ Я~+ таких, что £«(0) —> г при п —> оо и £„(£) —> д при £ —> ±оо при каждом п. Из леммы VI.2.1 [1] следует, что существует функция д £ , проходящая через
точку г, такая, что на любом отрезке I С тг(д) функции гпт будут равномерно сходиться к д|/. Возьмем произвольное число Т > 0 и выберем из последовательности гп подпоследовательность, сходящуюся на отрезке [—Т, Т] к некоторой функции д. Из включения т(гп) С Н, которое выполнено для каждого п, вытекает, что 1т(д!) С II при 7г(сц) = [—Т,Т]. Но <71 (0) — г = у(0), поэтому д = д[~т,т- Следовательно, в силу произвольности числа Т 1гп(у) С II при я(д) = (—оо,+оо). Из аксиомы единственности (и) следует, что соответствующая часть траектории д(£) совпадает с одной из боковых сторон сектора II. Следовательно, эта боковая сторона не может быть параболической траекторией, так как она не выходит на С за конечное время. Противоречие.
II. Предположим, что утверждение леммы не верно. Тогда в силу доказанного в пункте I утверждения найдется такая последовательность функций гп £ Е’, что г„(0) —» г при п —> оо и при всех п либо г„(Тп) £ аар (Тп > 0), либо 2„(Т„) £ ШрЪ (Тп < 0).
Рассмотрим первый случай, когда гп{Тп) £ аар при Тп > 0 (второй случай рассматривается аналогично).