Многомерные однозначно проектируемые поверхности в сферическом и проективных пространствах

• Автор: Ровенский, Владимир Юзефович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Караганда
• Количество страниц: 110 c. : ил

Глава I. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

1.1.Линейчатые поверхности в сферическом и проективных пространствах

1.2.Линейчатые однозначно проектируемые поверхности

1.3.Комплексные линейчатые однозначно проекти -руемые поверхности

1.4.Семейства- скрещивающихся сфер

Глава 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

2.1.Строение вполне вещественных параболичес

ких поверхностей в СР ^ и НР пь

2.2.Параболические поверхности положительной секрионной кривизны

Глава 3. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЛОЕНИЯ

3.1.Вполне геодезические слоения положительной кривизны в смешанных направлениях

3.2.Характеристические свойства комплексного и кватернионного проективных пространств
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. В последние годы в работах советских и зарубежных геометров (Недель С.З., Борисенко A.A., Глазы -рин В.В., Дерус Д., Грэй А., Чен Б.-E., Зскобалес Р., Эйб К. и др.) интенсивно исследуются новые классы многомерных поверхностей в евклидовом, сферическом и проективных пространствах, а также вполне геодезические слоения.
В нашей работе введены и изучаются следующие классы по -верхностей з названных пространствах:
^ - линейчатые однозначно проектируемые поверхности;
- линейчатые поверхности положительной секционной кривизны в смешанных направлениях.
Классы представляют собой обобщения класса линейчатых развёртывающихся, или сильно-параболических по -верхностей. Как выяснилось, они тесно связаны и с известными классами
/7/ - параболических однозначно проектируемых поверхностей;
/7э ~ параболических поверхностей положительной секционной кривизны.
Отправной точкой наших исследований послужила теорема «е-руса Д. о вполне геодезических слоениях и некоторые её следствия.
Теорема £fj . Пусть на ркмановом многообразии
( /Z > О ) задано У -мерное С^-спосше J/.J с полными вполне геодезическими листами, причём смешанная секционная кривизна удовлетворяет условию
#fx,y) = Â>0, (xyerz1)
(0.1)
Тогда
і) < />('п)> (о.г)
где рґлг)-/ - максимальное число непрерывных поточечно линейно независимых векторных полей на сфере
ап-'.
Последовательность РСЪ) вычисляется по правилу £2
_р((нечет.) 2 *£*с) = 8£+ 2е(£*0; 0*С*3).
Линейчатые развертывающиеся поверхности в сфере удовлетворяют условиям теоремы Д.Феруса. Поэтому из нее следует оценка нуль - индекса /и. полной сильно-параболической поГрэй А. [ 3 ] в 1966 г. предположил, что полное многоизометрично сфере или комплексному проективному пространству в келеровом случае.
пускает вполне геодезическое слоение, для которого выполнено условие ( О./ ). Следовательно, теорема Д.Феруса даёт силь -ное продвижение и в проблеме А.Грэя.
Эта теорема привлекла внимание геометров (см./ 4 ~
9 -7), так как содержит новый подход к актуальной проблеме о
образие с положительным индексом Л? - дефектности при /V><9
Известно, что многообразие с индексом /и# >0 до

- слоением на V - мерные полные вполне омбилические в Л/ листы. Семейство сфер назовём трубчатой поверхностью, если вектор средней кривизны листов ортогонален поверхности.
Ясно, что образующие семейства сфер составляют вполне омбилическое слоение несущей поверхности. Кроме того, для труб -чатой поверхности образующие локально изометричны друг другу, так как задают вполне геодезическое слоение несущей поверх -ности [ £5 ].
Напомним, что подмногообразие / ^ риманова пространст -ва /У называется вполне омбилическим, если вторая основная форма А имеет следующий вид:
= , {сс^еП,
/А называется вектором средней кривизны / в Л/ . В случае получаем вполне геодезическое подмногообразие.
Сферой называется геометрическое место точек, равноуда -лённых от заданной точки пространства, служащей центром. Хорошо известно, что замкнутые вполне омбилические подмногообразия пространства постоянной секционной кривизны суть сферы, причём вектор средней кривизны параллелен в нормальной связности
[ /5 _7.
Две плоскости /7** , /7**' В скрещива -
ются, если подпространства
I/* + / > у/?*'
, полученные
параллельным переносом плоскостей в начало, пересекаются лишь по нулевому вектору. В этом случае
<*: + уз < т