Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков

• Автор: Зуев, Константин Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Введение

1 Формальный метод сдвига аргумента

1.1 Гипотеза Мищенко-Фоменко

1.2 Метод сдвига аргумента

1.3 Критерий полноты: полиномиальный случай

1.4 Критерий полноты: алгебраический случай

1.4.1 Сдвиги рациональных инвариантов

1.5 Критерий полноты: общий случай

1.5.1 Формальная теорема Фробениуса

1.5.2 Формальные инварианты представлений

1.5.3 Определение и коммутативность
1.5.4 Лемма об иерархии, порождаемой парой билинейных форм
1.5.5 Лемма о паре кососимметрических билинейных форм
1.5.6 Критерий полноты Та(1{о))
1.6 Конструкция Болсинова
1.7 Примеры
1.7.1 Вещественные алгебры Ли малой размерности
2 Геометрия интегрируемых геодезических потоков
2.1 Надстройки автоморфизмов торов
2.2 Построение римановой метрики на М+1
2.3 Оператор Бельтрами-Лапласа на Мд+1
2.4 Спектр и собственные функции оператора Бельтрами-
Лапласа
Библиография

Введение
Настоящая диссертация посвящена исследованию вполне интегрируемых гамильтоновых систем и состоит из двух независимых частей.
Первая часть диссертации мотивирована геометрическим доказательством гипотезы Мищенко -Фоменко [24], полученным А. В. Бол-си новым [7].
Гипотеза Мищенко-Фоменко утверждает, что для каждой вещественной или комплексной алгебры Ли существует полный коммутативный набор полиномов на ее двойственном пространстве. Для случая полупростых алгебр Ли эта гипотеза была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко при помощи разработанного ими метода сдвига аргумента [23]. В общем случае доказательство было впервые получено С. Т. Садэтовым [26]. Оказалось, что доказательство становится возможным, даже если вместо поля вещественных или комплексных чисел рассматривать алгебры Ли над абстрактным полем. А именно, теорема Садэтова говорит, что гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики. А. В. Болсинов в работе [7] изложил чисто алгебраическое доказательство Садэтова на более явном языке пуассоновой геометрии, что сделало доказательство конструктивным и позволило эффективно работать с конкретными алгебрами Ли.
В основе доказательства лежит конструкция, которая сводит задачу к алгебре Ли меньшей размерности над новым полем, являющимся расширением исходного. Это позволяет действовать по индукции: на каждом шаге мы сводим задачу к построению полного коммутативного набора полиномов для алгебры меньшей размерности и действуем так до тех пор, пока не получим абелеву или полупростую алгебру Ли. В последнем случае остается применить метод сдвига аргумента [23]. Однако, хорошо известно, что метод

сдвига аргумента дает полный коммутативный набор полиномов не только в полупростом случае, но и для многих других классов алгебр Ли. Поэтому, естественно было бы применять его не только к полупростым, а вообще ко всем возникающим в процессе индукции алгебрам. Техническая проблема заключается в том, что критерий полноты для коммутативного набора, построенного методом сдвига аргумента, известен только в вещественном и комплексном случаях [5]. Имея такой критерий для произвольного поля, можно было бы существенно упростить описанную процедуру построения полного коммутативного набора. А именно, делать индуктивный шаг, понижающий размерность алгебры, только в том случае, когда коммутативный набор, построенный методом сдвига аргумента, не является полным согласно новому критерию. В первой части диссертации мы строим обобщение метода сдвига аргумента (формальный метод сдвига аргумента) для алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и доказываем критерий полноты для коммутативного набора полиномов, построенного этим методом.
Перейдем к краткому изложению структуры и главных результатов первой части диссертации. В разделе 1.1 мы напоминаем основные определения, формулируем гипотезу Мищенко-Фоменко в терминах пуассоновой алгебры _Р(д) и обсуждаем центральную идею ее доказательства. В разделе 1.2 мы напоминаем метод сдвига аргумента [23] и критерий полноты для вещественного и комплексного случаев [5].
Начиная с раздела 1.3 мы рассматриваем алгебры Ли над произвольным полем К нулевой характеристики. Хорошо известно, что инварианты коприсоединенного представления, вообще говоря, не обязаны быть полиномами. В вещественном и комплексных случаях этот недостаток можно легко устранить, разложив инвариант / в ряд Тейлора в окрестности точки а € 0*
/(а + Аж) = /(а) + А/ад(ж) + А2Д2(ж) +
и взяв вместо самого инварианта полиномы {/а,к}кс_п- Одна из трудностей, с которой мы сталкиваемся при переходе к абстрактному полю, — это отсутствие на поле К априорно заданной топологии, и, как следствие, отсутствие дифференцирования функций на 0*, разложения их в ряд и т.д. В разделе 1.3 вместо кольца всех инвариантов алгебры Ли Х(д) мы рассматриваем центр ее пуассоновой

Выражение под знаком суммы есть однородный полином степени г — 1. Поэтому левая часть (1.12) является корректно определенным формальным рядом по переменным xi
Легко проверить, что если F — формальный инвариант, то его дифференциал в нуле df € V* всегда ортогонален подпространству К = М0а I £ е 0}: т-е- Для всех С е S
(dfi,p(Oa) = 0.
Напомним, что элемент а £ V называется регулярным, если его стационарная подалгебра St (о) = {£ £ б|р(£)а — 0} имеет минимальную размерность. Множество регулярных элементов открыто и всюду плотно в V.
Замечание 6. Всюду далее, если не оговорено противное, все топологические понятия типа открытости (замкнутости) множества или непрерывности отображения понимаются в смысле топологии Зари-ского. Напомним, что в этой топологии выражение “для почти всех ж” означает, что х принадлежит дополнению к алгебраическому многообразию положительной коразмерности.
Следующее утверждение является следствием формальной теоремы Фробениуса.
Теорема 8. Для любого представления р : Q —► 0[(У) и любого регулярного элемента а £ V существует набор {F ... ,F} из s = dim У — dim£j + St(a) формальных инвариантов представления р в точке а, дифференциалы которых в нуле линейно независимы.
Следствие 1. Дифференциалы формальных инвариантов в нуле образуют базис в ортогональном дополнении к подпространству
К, = {р(0«1Се *}.
Действительно, df
dim span {df[X
Кроме того, dfi £ V/ф для всех j — 1
span {df[X