Почти ∆-расслоения

• Автор: Рыжкова, Алла Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 100 с. : ил.

1 Расслоения с многозначными автоморфизмами и инвариантные связности

§ 1. Почти Д—структуры на главных расслоениях

1.1. Инвариантные покрытия

1.2. Определение почти Д-структур в терминах

функций перехода

1.3. Морфизмы

1.4. Категория почти Д-расслоений

§ 2. Многозначные действия группы Д на пространстве

главного расслоения

2.1. Псевдодействие группы Д

2.2. Многозначные автоморфизмы

2.3. Псевдодействия и морфизмы
§ 3. С-связности
2 Построение инвариантов и классификация почти Д-расслоений
§ 1. Характеристические классы
§ 2. Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы
голономии

§ 3. Инварианты почти А-расслоений с плоскими связностями
§ 4. Классы эквивалентности почти Д-расслоений с плоскими связностями
§ 5. Классификация почти А-расслоений
3 Инвариантные расслоения в категории почти Д-расслоений
§ 1. Д-расслоения
§ 2. Характеристические классы Д-расслоений в категории 1С(В, Тк, Д, К)
§ 3. Инварианты Д-расслоений с плоскими связностями
§ 4. Классы эквивалентности Д-расслоений в категории
К{В,Тк,/,К)
4 Расслоения с группой многозначных автоморфизмов и гироскопические системы с симметриями. Примеры
§ 1. Связь почти Д-расслоений с гироскопическими системами
§ 2. Почти Д-расслоения над двумерными базами
§ 3. Трехмерные почти Д-расслоения
Заключение
Литература

Пусть В - гладкое многообразие, g - риманова или псевдоримано-ва метрика, F - замкнутая 2-форма на В и и : В —>• Ж - гладкая функция. Тогда четверку Г = (В,д, F, и) называют гироскопической системой. Как показано С.П. Новиковым [13], анализ ряда задач математической физики приводит к рассмотрению гироскопических систем с многозначным функционалом действия. Если индекс иррациональности формы гироскопических сил F такой системы конечен, то преодолеть некоторые из возникающих трудностей удается с помощью главного расслоения £, для которого базой является конфигурационное многообразие В, а структурной группой - тор Тк. Тесная связь таких главных расслоений и гироскопических систем описана в работах М.П. Харламова [23], Я.Л. Шапиро, В.А. Игошина, Е.И. Яковлева [10], [30] - [34], С.В. Болотина [4], подобные конструкции рассматривались Б.Н. Шапуковым[29].
Предположим, что интересующая нас гироскопическая система обладает конечной группой симметрий А, то есть инвариантна относительно некоторого действия R : В х А —>■ В. Настоящая работа посвящена построению и исследованию категории расслоений, ассоциированных с такими системами. Мы называем такие расслоения почти А-расслоениями. Показано, что в этом случае группа А оказывается группой многозначных автоморфизмов для расслоения, т.е. действие R поднимается на тотальное пространство многозначным образом. Таким образом, рассматриваемая задача связана с вопросом о поднятии действия группы с базы расслоения на его пространство, - см., например, работу Т.Е. Stewart [39].
Характеристическим свойством расслоений с многозначными автоморфизмами является то, что они обладают инвариантными связностями. Исследованием инвариантных связностей относительно

Или iVu(a) = Çvu(a) + Çv(a) - Cu{a), где (u(a) = Exp(fXKU A) и Cv(a) = Exp(Jxkv A). Так как
то по предложению 1.1 расслоение р будет изоморфно расслоению р в категории }С(В,Тк, Д, R). Следовательно, формула (2.10) корректно определяет отображение fj : Н2(В, Rfc|Zfc) —У В(В, Тк, Д, R).
В силу (2.6) на пространстве расслоения р существует G-связность Н с набором локальных форм связности {шци Є U}. По построению Fu = dcoj - проекция на базу В формы кривизны dui связности Н. Таким образом. г/[р] = [Е]д и rj о fj = id.
Если все построения осуществить для форм F, F1 и F" = F + F', где [F], [F’] Є Н2(В,Шк|Zfc), то получатся почти Д-расслоения р, р' и р", имеющие почти Д-атласы A(U), А1 Ш) и A"{U) с функциями перехода {£уц}, {£vu} и {Çyu}, где
При этом, так как Щ — к0 + к'0, то продолжение к" для к$ можно получить, положив к" = к + Ы. Формы и Щу также можно выбрать удовлетворяющими равенствам ш'ц = юц + 'ш'ц и ги'у — ггу + ги'у. Поэтому = £,уи + %уи и [р" = [р] + р"]. Следовательно, р -гомоморфизм. □