Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента

• Автор: Коняев, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Содержание
1 Введение

2 Предварительные сведения и обозначения

2.1 Принятые обозначения и определения

2.2 Теорема Жордана-Кронеккера и некоторые ее следствия .

2.3 Полные коммутативные наборы и критерий Болсинова

2.4 Представления минимальной размерности и системы корней некоторых простых алгебр Ли

3 Бигамильтоновы цепочки и обобщенный метод сдвига аргумента

3.1 Бигамильтоновы векторные поля

3.2 Бигамильтоновы цепочки. Их свойства и теорема существования

3.3 Обобщенный метод сдвига аргумента. Псевдомногочлены .

3.4 Обобщенный метод сдвига аргумента и плоские пучки на
коалгебрах Ли
4 Секционные операторы
4.1 Определение, теорема существования и явная формула для
секционных операторов. Примеры
4.2 Алгоритм определения секционное оператора
4.3 Секционные операторы и метод сдвига аргумента. Теорема
Мещерякова в общем случае
4.4 Секционные операторы на коалгебрах фробениусовых алгебр Ли
4.5 Параметры секционного оператора. Однозначность их восстановления в простом случае
5 Бифуркационная диаграмма и отображение момента для
некоторых простых комплексных алгебр Ли
5.1 Функции, полученные методом сдвига аргумента, как функции на д ® д
5.2 Некоторые свойства сингулярных элементов простых комплексных алгебр Ли

5.3 Бифуркационная диаграмма и дискриминант спектральной кривой на простой алгебре д
5.4 Метод сдвига аргумента для субрегулярных полупростых элементов простой алгебры Ли. Центры централизаторов элементов такой алгебры
5.5 Бифуркационная диаграмма Е и дискриминант спектральной кривой И для представления минимальной размерности алгебр з1(п + 1), во(2п + 1), зр(2п) и
5.6 Спектральная кривая зо(2п) в представлении минимальной размерности

1 Введение
Интегрируемые системы на пространствах, двойственных к алгебрам Ли, являются областью, где интенсивные исследования ведутся математиками самых разных специальностей - алгебраистами, геометрами, специалистами но дифференциальным уравнением (более подробный обзор темы можно найти, например, в книге [1]). Главной причиной столь пристального внимания к подобным системам, является тот факт, что сложнейшие динамические эффекты в них оказываются тесно взаимосвязаны как с геометрией потоков, так и с их алгебраическими свойствами.
Одним из основных структур, которые играют определяющую роль в подобных системах являются скобки Пуассона. Рассмотрим действительное многообразие М и кольцо гладких (вообще говоря комплекснозначных) функций на этом многообразии, которое обозначим через С°°(М). Говорят, что на многообразии задана скобка Пуассона, если помимо коммутативной структуры кольца, на С°°(М) имеется билинейная кососимметрическая операция { , }, удовлетворяющая тождеству Якоби
{/, {д, л}} + {К {/, д}} + {<7, {К /}} = о, V/, д, 1г Е С°°{М) (1)
и правилу Лейбница
{/9, = /{д, Н} + {/, Н}д, V/, д,Ь Е С°°(М). (2)
Пару многообразие М и заданная на нем скобка будем называть пуассо-новым многообразием.
Используя тождество Лейбница, достаточно легко можно показать, что для любой пары функций /,д Е С°°(М) их скобка Пуассона в локальных координатах имеет вид
{/,д} =< А, &/,&д >, (3)
где (1(1/ и с1д — дифференциалы функций / и д, А — гладкое бивектор-иое поле на многообразии, определение которого не зависит от функций /, д, а треугольные скобки обозначают операцию подстановки в бивектор, как полилинейное отображение, пары ковекторов. Описанный бивектор Л называется тензором Пуассона.
Фактически скобка Пуассона задает на линейном пространстве гладких функций на многообразии структуру бесконечномерной алгебры Ли.

Соответствующие простым корням «1 и «2 корневые вектора задаются формулами:
^(Е12 — Еъх) — (Е37 - ^4б),
£-23 — -Ё'бб-
Соответствующие остальным положительным корням корневые вектора в этом случае имеют вид:
^2(Е13 — Еб1~) — (Е27 — Е45),
—у/2(Е<ц — Еп) + (^62 — £53),
£42 — Еьт.
Еа3 — Ев
Замечание 2.1 В представлении (14) координаты выбраны таким образом, что корневые вектора корней а2, Зал + «2 и 3«! + 2а:2 это в точности вектора, соответствующие координатам х,Х2,х3, а корневые вектора корней ах, а +0:2 и 2ах + 0:2 - вектора, соответствующие Уь 2/2: Уз-
В качестве порождающих кольцо инвариантов можно взять коэффициенты характеристического многочлена х(/Д = det (X — рЕ) в представлении минимальной размерности при р, ид5.
3 Бигамильтоновы цепочки и обобщенный метод сдвига аргумента
3.1 Бигамильтоновы векторные поля
Для дальнейшей работы нам потребуются некоторые технические результаты из пуассоновой геометрии. Всюду в разделе считаем, что у нас задано действительное многообразие М, на котором рассматривается пространство гладких функций С°°(М). Все утверждения формулируются в некоторой окрестности фиксированной точки Р 6 М.
Напомним, что векторное поле и называется гамильтоновым, если оно может быть представлено в виде
у = Ад./,