Гомотопические свойства гильбертовых модулей над C* - алгебрами

• Автор: Касимов, Вагиф Али-Мухтар оглы
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 70 c. : ил

Теория С -алгебр и их представлений в последнее время стала интенсивно применяться в различных вопросах топологии. Наиболее плодотворные применения теории С. *-алгебр оказались в К -теории. Пожалуй, первые применения техники С* -алгебр для решения некоторых вопросов теории векторных расслоений следует искать в работах по теории фредгольмовых операторов. Как известно, фредгольмовы операторы имеют единственный гомотопический инвариант - индекс фредгольмового оператора, который вычисляется как разность размерностей ядра и коядра оператора. Важным методическим наблюдением является тот факт, что для непрерывного семейства фредгольмовых операторов, хотя индекс и является локально постоянной функцией, более тонким гомотопическим инвариантом является пара векторных расслоений, слои которых образованы ядрами и коядрами семейства фредгольмовых операторов. Это наблюдение сделанное М.Атья [I] в 1965 году,и независимо К.Ени-хом [2] в 1964 г., позволило интерпретировать К -группы в терминах фредгольмовых операторов и в терминах эллиптических псевдодифференциальных операторов. В связи с этой проблематикой важное место занимает теорема Кюйпера [3] 1965 г., о том, что группа всех обратимых ограниченных операторов бесконечномерного гильбертового пространства стягиваема. Это в частности означает, что любое векторное локально тривиальное расслоение,слой которого изоморфен бесконечномерному гильбертовому пространству, является тривиальным расслоением. В дальнейшем оказалось,что естественные варианты К -теории в произвольных банаховых категориях, которые исследовал М.Наруби [4], [5] 1971 г., в случаях С*-алгебр получили интересные приложения. Эти приложения свя-

заны с тем обстоятельством, что некоторые (Г*-алгебры естественно возникают в топологических задачах. Одной из таких задач является задача описания гомотопических инвариантов неодносвязных многообразий. Ряд таких инвариантов удобно описывать в терминах К -теории для групповой С*-алгебры фундаментальной группы неодносвязного многообразия. А.С.Мищенко (1970-1978 гг.) [б],
[7], [8] разработал теорию сигнатурных инвариантов неодносвязных многообразий и теорию индекса эллиптических операторов над £*-алгебрами для исследования гомотопических инвариантов неодносвязных многообразий. В частности была разработана теория фредгольмовых операторов над С*-алгебрами и построен индекс фредгольмовых операторов над С *-алгебрами как элемент К -группы С*-алгебры. Г.Г.Каспаров разработал применения техники С* -алгебр к гомотопическим инвариантам, описывающим расширения С*-алгебр [9]. Оставался открытым вопрос: какова гомотопическая структура группы всех обратимых операторов бесконечномерного гильбертова модуля над С -алгеброй. От решения этого вопроса зависило, в частности, решение задачи описания гомотопических инвариантов фредгольмовых операторов над £***алгеброй.
Настоящая диссертация посвящена исследованию гомотопической структуры группы обратимых операторов бесконечномерного гильбертового модуля (А) над С -алгеброй А • Гипотеза, которую проверял автор, заключалось в том, что все гомотопические группы тривиальны. В случае, когда алгебра А равна полю комплексных чисел (А , эта гипотеза справедлива и составляет теорему Кюйпера. Обобщение же теоремы Кюйпера на случай произвольной С -алгебры А может быть произведено двумя способами. Первый способ заключается в исследовании гомотопической структуры группы всех обратимых

ограниченных операторов (гомоморфизмов модуля) модуля 1г(А) ,

Второй способ заключается в изучении некоторой подгруппы С/ДШ<= ШЦА)) , состоящей из тех ограниченных

операторов, которые допускают сопряженный ограниченный оператор.

Рассмотренные группы СI* ( ^ (А)) оправдываются следующими соображениями.

1. Любой псевдодифференциальный оператор над С*-алгеброй допускает сопряженный.

2. Алгебра £по1 А ( (А)) всех операторов, допускающих
сопряженные, снова является С^-алгеброй.
Постановка задачи. Пусть А -произвольная С*-алгебра,
- группа обратимых операторов, допускающих сопряженные, гильбертового модуля £-2. (А) . Требуется вычислить гомотопические группы 0ТК ( Ь* (£г (А))),
Формулировка основной теоремы диссертации.
Теорема. Для любой С*-алгебры А все гомотопические группы линейной группы обратимых, ограниченных, допускающих сопряженные гомоморфизмов гильбертового модуля 2г(А) тривиальны, т.е.^(С,Ь^2.(Л))) » 0 • для всех К* о,(см. в [10] ,
стр.80)
Следствия:
1. Каждое расслоение со слоем гильбертового модуля ^(А) , структурной группой и базисным пространством
X является тривиальным. Здесь X - пространство имеющее гомотопический типа С х/ - комплекса, (см. в [II], стр. 12).
2. Пусть -множество всех фредгольмовых операторов допускающих сопряженные, тогда гомоморфизм
[псЬг.х : л0 ( ^а ) (4)
- 5~0
^ с Л4 * Г*), .Здесь Х^-и,(е^) , ^Х^;/ ,
^ гЧ К
< ^Л> с / I И )) <0СЬ,^ > I] < £ <4 для каждого 5 € Ь .
Коэффициенты А* и определяются следующими формулами:
/Ц - ^ г, X, > -у^а < £, X, >,
/^5 = I <*,$>-<г,х&>•<*■»]<^.х*>-<х^>1
Тогда сО^(?) = ( А ■+уу'%лп»ск - А*) +
-+ (-4ги* ~ ] 4
Вычислим разность ( г ) - ( ’?)■
^(2)- Ч^(г) = ( +/,5** ~ Дз)хь~
-(^£ЙА'+ ^ *+ С" у»в^-
_ уп5)^ - (- Д5, ' + /V СМсЛ1 ~ {К (<яи-
~ а) + ^ С ~Хс/ ) т1 ( АсД ООЛ Л -•/) - Д^' ( ~^)^
-+ У*^Ч '^г'-'^ ^ ^л-'^ ^ "* ( Дс/ 'К-ПсЛч 1 — Ас, Лху(К +
+/*5 (<^<к-<0| _^гль, (со^'-^) Ц, (9)
Из формул определяющих коэффициентов А3 иу получаем следующие оценки:
И Ас, к » г\ 4 и /М
Ц^ <. -^“Г тогда 11 Дуй (^4 Ш
Для проведения оценок в формуле (9) сформулируем легко проверяемую лемму.
Лемма. Пусть задано функция ,Ъ) - ‘Ь($) ,
тде£<с £Ь[А) , У, п ‘ 2 > А - непрерывные функции.
Тогда И ^62,0 - | П £ ц гЦ °Сл (-% &') , где £> о при
‘р -4> б' •
Теперь оценим разные слагаемые в формуле (9).