Комбинаторная коммутативная алгебра и топология момент-угол комплексов

• Автор: Лимонченко, Иван Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение

1 Обзор основных понятий и конструкций

1.1 Симшшциальные комплексы и простые многогранники

1.2 Момент-угол многообразия и полиэдральные степени

1.3 Кольца Стенли-Райснера

2 Граф-ассоциаэдры, их кольца граней и момент-угол многообразия

2.1 Нестоэдры: граф-ассоциаэдры

2.2 Биградуированные числа Бетти граф-ассоциаэдров

2.3 Кручения и тройные произведения Масси в кольце когомологий

момент-угол многообразий

3 Обобщенные многогранники усечения, их кольца граней и момент-угол многообразия
3.1 Многогранники усечения и их момент-угол многообразия
3.2 Обобщенные многогранники усечения: кольца когомологий момент-угол комплексов
3.3 Дальнейшие обобщения: биградуированные числа Бетти
4 Минимально неголодовские комплексы и их момент-угол комплексы
4.1 Основные конструкции и результаты
4.2 Обобщенные многогранники усечения
4.3 Циклические многогранники
4.4 Простые многогранники с т < п +

5 Связные суммы произведений сфер как момент-угол многообразия
5.1 Случай т = п + 3 и маломерные комплексы
5.2 Симплициальные операции и минимальная неголодовость
5.3 Минимальная триангуляция СР
А Операции на симплициальных комплексах
Литература

Введение
Актуальность темы
В настоящее время на основе классических результатов комбинаторной коммутативной алгебры, алгебраической топологии, выпуклой геометрии, сим-нлектической геометрии и топологии, теории компактных групп преобрзова-ний, активно развивается торическая топология. В то же время, актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрия, изучающая свойства торических многообразий. Каждому выпуклому многограннику в К" с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора (С*)'4, являющееся эк-вивариантной компактификацией тора (С*)" относительно его стандартного действия. С одной стороны, эта конструкция дает обширный класс примеров алгебраических многообразий, свойства которых можно эффективно описывать в терминах комбинаторных данных. С другой стороны, конструкция торического многообразия позволяет доказывать сильные результаты о комбинаторике многогранников при помощи методов алгебраической геометрии. Одним из таких результатов является классическая ^-теорема, дающая полную характеризацию /-векторов простых многогранников [24].
М. Дэвис и Т. Янушкиевич в работе [42] ввели понятие квазиторического многообразия, являющееся топологическим аналогом торического многообразия. На квазиторическом многообразии М2п определено действие компактного тора Тп, локально изоморфное стандартному действию Тп на С”, а пространством орбит этого действия является выпуклый простой многогранник Рп. Квазиторические многообразия представляют обширный класс примеров топологических пространств е богатой геометрией и топологией, причем их свойства можно описывать в комбинаторных терминах. В. М. Бухштабер,

комплексе. Группа ИРф действует покоординатными инволюциями на кубе (Г)1)"*, при этом подмножество 2к(Р1,5°) С (О1)”1 инвариантно относительно ЭТОГО действия. Значит, определено действие СО® группы Щ.1 иа ПР°' страпстве . 5°). Это действие также не является свободным.
Исторически понятия момент-угол пространств многогранников и момент-угол комплексов симплициальных комплексов появились одновременно в связи со следующим результатом.
Теорема 1.2.10 (Бухштабер-Панов [11, 33]). Пусть Р — простой многогранник с т гипергранями, а дР* — симплициальиый комплекс, являющийся границей двойственного к Р симплициального многогранника. Тогда многообразие 2Р эквивариангпно гомеоморфно момент-угол комплексу 2др>{р'1,51) относительно действия т,ораТт. Многообразие-^2 Р эквивари-антно гомеоморфно комплексу 2др>(Р1, Б°) относительно действия группы Щ.
В качестве следствия получаем, что для простого многогранникаР момент-угол комплексы ^эр.(Р2, 51) и 2др>(Р1, 5°) являются замкнутыми топологическими многообразиями. Верен также более общий результат: пространства 2к(02, в1) и 2к(В1,5°) являются замкнутыми топологическими многообразиями, если К — симплициальная сфера [11, Лемма 3.2.2].
При помощи общего определения полиэдральной степени можно задавать дополнения к конфигурациям координатных подпространств. Пусть К -симплициальиый комплекс на множестве [т]. Каждому множеству д С [ш] сопоставим координатное подпространство Ь] — {(^ь..., гт) 6 Ст | 2, = 0 при г 6