Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела

• Автор: Морозов, Павел Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 170 с. : ил.

1 Инварианты Фоменко-Цишанга

1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы на симплекти-ческом многообразии

1.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы

1.1.2 Теорема Лиувилля

1.1.3 Отношения эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем

1.2 Инвариаты Фоменко-Цишанга интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы

1.2.1 Изоэнергетические поверхности

1.2.2 Бифуркационная диаграмма

1.2.3 Структура критических множеств па изоэнергетической поверхности

1.2.4 Окрестности сингулярных слоев лиувиллева слоения на изоэнергетической поверхности

1.2.5 Матрицы склейки и допустимые системы координат

1.2.6 Числовые метки
1.2.7 Формула Топалова
1.3 Интегрируемые гамильтоновы системы в механике твердого тела
1.3.1 Фазовое пространство
1.3.2 Основные случаи интегрируемости
1.3.3 Результаты лиувиллевой классификации интегрируемых случаев
Лиувиллева классификация интегрируемого случая Стекло-ва
2.1 Г рубая лиувиллева классификация систем случая Стеклова
2.2 Классификация круговых слоений Лиувилля
2.3 Классификация невырожденных положений равновесия
2.4 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
2.5 Построение допустимых систем координат
2.6 Определение взаимного расположения базисных циклов
2.7 Алгоритм вычисления инварианта Фоменко-Цишанга
2.8 Пример вычисления меченой молекулы
Лиувиллева классификация интегрируемого случая Клеб-ша
3.1 Бифуркационные диаграммы, семейства торов и их перестройки
3.2 Классификация невырожденных положений равновесия
3.3 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
3.4 Допустимые системы координат
3.5 Определение взаимного расположения базисных циклов
3.6 Разрешение неопределенностей с ориентациями
3.7 Вычисление монодромии особенности типа фокус-фокус
3.8 Полный список изоэнергетических молекул случая Клеб-

3.9 Эквивалентности случаев Эйлера, Клебша и Стеклова
Лиувиллева классификация интегрируемого случая Соколова
4.1 Гамильтониан и дополнительный интеграл случая Соколова
4.2 Результаты П. Е. Рябова
4.3 Невырожденные положения равновесия в случае Соколова
4.4 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
'4.5 Построение допустимых систем координат
4.6 Определение взаимного расположения базисных циклов
4.7 Применение формулы Топалова
Лиувиллева классификация интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи при # = 0
5.1 Гамильтониан и дополнительный интеграл
5.2 Бифуркационные диаграммы, семейства торов и их перестройки
5.3 Классификация невырожденных положений равновесия
5.4 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
5.5 Построение допустимых систем координат
5.6 Определение взаимного расположения базисных циклов
Ограничивая операторы Ащ и Аро из е(3)* на ТмМ^, находим матрицы симплектических операторов Ащ и Ар0:

{а2 - а])д+

О (а3 - а 1)5+ О
+(аз - «?) +(аз - а1)
(а! - а2)д+ 0 (а? - а22)д+ О
+(а1 - а2) + (а1 - а!)
О а3 0 {а2 - а?) -
—а2 0 (а2 — а2) + <21<7 О

О (в! - а3) 0 3(а? - а§) + (оц - а3)(/ '
аг — а 0 3(а2 — а2) + (а2 — а)д О
О 1 0 ах — а3 — д
-1 0 а2 - 01 + ^ 0 у
Легко видеть, что эти матрицы линейно независимы при любых д: для этого достаточно рассмотреть квадраты 2 х 2 в левых нижних углах двух матриц. Следовательно, первое условие невырожденности выполняется. Проверим второе условие. Покажем, что при д ф {а2 — 03,03 — о2, —За^Зах} матрица Ар0 имеет попарно различные собственные значения. Эта матрица имеет вид:

/ 0 Аг 0 вЛ А2 О В2 О
о а о д
у С2 О В2 0 у Уравнение на собственные значения:
беЬ(Х - ХЕ)