Инвариант Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае О. И. Богоявленского

• Автор: Зотьев, Дмитрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 67 с. : ил

Содержание
Глава 1. Введение
Глава 2. Особенности
§ 2.1. Вырожденные особенности симплектической формы на многообразии М4 . 13 § 2.2. Движение тяжелого магнита в случае типа С.В.Ковалевской в
параллельных гравитационном и магнитном полях
§ 2.3. Удобные координаты в объемлющем пространстве (йо(3) ф Я6)*
§ 2.4. Особенность типа самопересечения в случае, когда направления гравитационного и магнитного полей ортогональны, а моменты сил равны по абсолютной величине
Глава 3. Критические уровни энергии
§ 3.1. Теорема 1 о критических значениях и критических подмногообразиях
интеграла энергии
Глава 4. Критические подмногообразия интеграла О.И.Богоявленского ..
§ 4.1. Теорема 2 о критических значениях и критических подмногообразиях
интеграла О.И.Богоявленского
§ 4.2. Доказательство теоремы 2: в координатах (с, р,1р) критические точки
функции f : К определяются условием |£ = ~ О
§ 4.3. Доказательство теоремы 2: среди точек, в которых не определены
координаты (с,р,ф), не более, чем конечное число критических для / : <5® -* К__
§ 4.4. Доказательство теоремы 2: вывод уравнения 4.1 и системы 4.
§ 4.5. Окончание доказательства теоремы
§ 4.6. Теорема 3 о боттовости функции / : —> К
Глава 5. Нулевой уровень интеграла Богоявленского
§ 5.1. Теорема 4 о топологической структуре интеграла Богоявленского
Глава 6. Компьютерная визуализация торов Лиувилля и бифуркаций
Глава 7. Инвариант Фоменко-Цишанга, топология изоэнергетических
поверхностей и фазового многообразия
§ 7.1. Теорема 5 о меченых молекулах в случае О.И.Богоявленского
§ 7.2. Доказательство теоремы 5: вспомогательные леммы
§ 7.3. Доказательство теоремы 5: метки при Дх < к < к
§ 7.4. Доказательство теоремы 5: метки при к2 < к < ко
§ 7.5. Доказательство теоремы 5: метки при До < Д < Дз
§ 7.6. Доказательство теоремы 5: метки при к > к
Приложение
Литература

Глава 1. Введение
Актуальность темы.
Задача об интегрировании уравнений движения твердого тела с неподвижной точкой (уравнения Эйлера-Пуассона) известна с XVIII века. Эта проблема, над которой работали Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу, С.Ковалевская, Н.Жуковский, С.Чаплыгин, А.Ляпунов и многие другие, не имеет общего решения, однако в разное время были найдены (и в различных направлениях обобщены) частные случаи движения, интегрируемые в квадратурах. Наиболее известные из них: случай Эйлера - вращение вокруг центра масс, Лагранжа - вращение волчка, С.В.Ковалевской - наиболее интересный, физический смысл которого до сих пор не вполне понятен, а также случаи Горячева-Чаплыгина-Сретенского. Современные исследования, в большей степени, направлены к глобальному качественному исследованию интегрируемых уравнений движения, а также самого феномена интегрируемости. Соответствующая методология синтезирует классическую аналитическую механику, включая гамильтонов формализм и вариационное исчисление, с топологией дифференцируемых многообразий, симплектической геометрией, теорией групп Ли и алгебраической топологией.
В начале 80-х годов (XX века) возникла школа А.Т.Фоменко, в которой созданы методы исследования фазовой топологии интегрируемых гамильтоновых систем, основанные на теории А.Т.Фоменко типа Морса [33-40]. Сужение класса интегралов движения до боттовских функций позволило, практически без потери общности, изучить топологию фазовых пространств уравнений движения и их решений. Одновременно была создана теория топологической классификации нерезонансных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, согласно которой каждая система порождает дискретный набор топологических инвариантов Фоменко-Цишанга - т.н. меченых молекул, идентифицирующий систему с точностью до произвольного диффеоморфизма фазового многообразия, сохраняющего ориентации и лиувиллево слоение на инвариантные торы [7,11]. Каждая молекула характеризует фазовую топологию изоэнергетических поверхностей (} = Н~1(к) для всех значений энергии Н, достаточно близких к некоторому регулярному А. Основные результаты в этом направлении получены А.Т.Фоменко, Х.Цишангом и А.В.Болсиновым. Дальнейшие исследования (А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко) развивались в направлении все более тонкой классификации, позволяющей идентифицировать интегрируемые системы с точностью до параметризаций фазовых траекторий, а также распознавать системы, отличающиеся лишь в обозначениях [9,11]. Одновременно ведется работа по вычислению меченых молекул известных случаев динамики твердого тела, а также других интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Первые молекулы были вычислены

А.Т.Фоменко и А.А.Ошемковым [27,28], а соответствующие целочисленные метки (’’валентности”) определил А.В.Болсинов [8]. К настоящему времени значительное число интегрируемых случаев динамики твердого тела классифицировано мечеными молекулами, в том числе случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и Горячева-Чаплыгина-Сретенского - подробности в [11]. Настоящая диссертационная работа посвящена интегрируемому случаю вращения тяжелого магнита, при нулевом значении интеграла типа Ковалевской, описанному О.И.Богоявленским в [4]. Для данного случая задачу исследования с точки зрения теории типа Морса А.Т.Фоменко поставил в 1989г. Работа примыкает к исследованиям бифуркационных множеств и областей возможности движения, где основные результаты получены М.П.Харламовым и его учениками [41-43]. Диссертация также дополняет результаты А.И.Бобенко, А.Г.Реймана и М.А.Семенова-Тян-Шанского [2], которые проинтегрировали по Лиувиллю уравнения движения тяжелого магнита в случае типа С.В.Ковалевской, описанном О.И.Богоявленским в [4].
Цель работы в исследовании фазовой топологии интегрируемого случая О.И.Богоявленского - вращение тяжелого магнита вокруг неподвижной точки, при нулевом значении интеграла типа С.В.Ковалевской [4], а также его топологической классификации.
Научная новизна.
Все результаты диссертационной работы получены впервые. Новый метод вычисления меток г,е,п дополняет существующие [7,8,11]. Особенность задачи, связанная с вырождением симплектической формы на подмногообразии коразмерности 1, ранее в динамике твердого тела не встречалась. Появление этой особенности открывает новое направление исследований, актуальное с точки зрения приложений симплектической геометрии.
Теоретическая и практическая ценность.
Обнаружены новые молекулы и новые типы движений, которые ранее в динамике твердого тела не встречались. Несмотря на значительную техническую сложность задачи, все результаты получены формально, без использования приближенных вычислений. Анализ вырожденной особенности симплектической формы фазового многообразия М4 позволяет расширить область применения теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем [7,11].
Практическое значение диссертации в том, что явно вычислены фазовые траектории устойчивого периодического движения тяжелого магнита. Полученные формулы могут быть полезны в технических приложениях. Использованный метод вычисления меток г,£,п способствует лучшему пониманию теории инварианта Фоменко-Цишанга, поскольку исходит прямо из определений меток [7]. Для многих классических интегрируемых задач динамики фазовая топология исследована без использования меченых

Глава 6. Компьютерная визуализация торов Лиувилля и
бифуркаций
Для создания рис.7-9 разработан следующий метод визуализации бифуркаций торов Лиувилля. Пусть, например, тор Т2(с + е) отвечает значению с + е боттовского интеграла /2|дз при е,Е (0;ео]> где £о -> +0. Здесь С}3 - подмногообразие уровня интеграла /1, коммутирующего с /2, и с - критическое значение функции /2|<зз. Можно считать, что соответствующий полиэдр Рс = Нтс_>+0 Т2(с+ е) пересекается с множеством критических точек функции /2|дз по единственной окружности Д1(с). Если это не так, то малым возмущением интеграла /2 устраним на Рс все лишние критические окружности, кроме 51(с) [37]. В частности, полиэдр Рс может совпадать с 5х(с), которая в этом (и только в этом) случае является минимаксной. Предположим, что:
1. Для каждого е 6 (0; £0] конструктивно определен гомеоморфизм Ф£ стандартного тора 51 х 51 (с угловыми координатами <,и) на тор Т2(с + е).
1.1. Гомеоморфизм Ф£ непрерывно зависит от е.
1.2. Для всех (£,«) существует Нт£_>+о Ф£(£, и), причем сходимость равномерна по (1,и).
2. Конструктивно определен гомеоморфизм ф стандартной окружности 51 (с угловой координатой 1) на критическую окружность ^(с).
3.1. Если Д^с) - седловая окружность, то Нт^+о Фе(£,±|) = (£).
3.2. Если 51(с) - минимаксная окружность, то Нте_»+0 Фе(£,и) = ф{£).
Гомеоморфизмы Ф£(£, и) фактически построены при доказательстве теоремы 4. Если кх < /г < /г2, то гомеоморфизм (£), согласованный с (6.1) и отображающий 51 на Я“1 (/г2) ПС (теорема 1), в координатах АД, М2, М3, р. в, г, ф, с, х пространства И9 3 М4 определяют следующие формулы:
Соответственно, при /г —» Л2 — 0 на экране компьютера отображается бифуркация типа III [37] тора {Н = /г, / = 0} (рис.8). Если в этих формулах всюду заменить щ, /г
на /і2, р2, (где р2 = Ср — с2), то получится согласованный с (6.1) гомеомор-
физм ф{Ь) на минимальную окружность Н (т.е. на уровень Я = /її). При Н —> /її + 0 на экране отображается бифуркация типа I (рис.7). Наконец, согласованный с (6.2) гомеоморфизм ф(і) на одну из двух седловых критических окружностей Я, соответствующих

р(і) = с(і) + 1і2, 0(£) = «О, е(£) = 0, ?•(£) = >/с + Я2/о(£) - р2(£),