Бивариантные когомологии с симметриями

• Автор: Солодов, Николай Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

Оглавление
Введение

1 Основные конструкции

1.1 Гомологии Хохшильда

1.2 Циклические гомологии

1.3 Скрещенные симплицнальные группы

1.4 Диэдральный комплекс £Ф*:*5*(А)

1.5 Кватернионный комплекс -В(2*,* (А)

2 Бивариантные когомологии

2.1 Периодичности

2.2 Свойства комплексов с периодичностями

2.3 Бивариантные когомологии
2.4 Основные определения
2.5 Произведение
3 Случай 1/2 6 к
3.1 Редукция комплексов
3.2 Матричная форма записи гомоморфизмов
3.3 Точные последовательности
4 Эрмитов бивариантный характер Чженя
4.1 Биваринтная эрмитова К-теория
4.2 Характер Чженя
5 Вычисления
5.1 Циклические гомологии А(1
5.2 Периодические гомологии Лг]
5.3 Бивариантные периодические когомологии .4,;
5.4 Кольцо А(С1)[/В,'/-!])
5.5 Циклические гомологии кольца ГА((}[ПА, /~Т))
А Приложение: Лемма о возмущении
А.1 Деформационные ретракции
А.2 Возмущение
В Приложение: Гауссовы числа
Список литературы

Введение
Настоящая диссертация посвящена развитию теории бивариантиых когомологий с симметриями пары унитальных алгебр над коммутативным кольцом. Наибольшее внимание уделено построению теории бпвари-антных диэдральных когомологий и конкретным вычислениям над кольцом целых чисел.
Актуальность. Гомологическая теория алгебр, возникшая первоначально как набор вычислительных средств в алгебраической топологии, теории групп и алгебр Ли, выделилась к концу 50-х годов в самостоятельный и быстрорастущий раздел математики. Ее становление связано с именами С. Маклейна, С. Эиленберга, Г. Хохшильда, А. Картана и многих других.
С помощью методов гомологической алгебры были получены многие важные результаты в алгебраической топологии, теории групп (применению гомологий в теории групп посвящена монография К. С. Брауна [15]), функциональном анализе (см., например, книгу А. Я. Холемского [13], посвященную этому вопросу), алгебраической геометрии.
В начале 80-х годов в структуре гомологической теории алгебр произошли существенные изменения. Во многом это было связано с понятием циклических (ко)гомологий, которые стали центральным объектом в новом разделе, возникшем на стыке гомологической алгебры, А”-теории и некоммутативной геометрии. Циклические (ко)гомологии были введены
А. Конном в связи с обобщением теоремы об индексе эллиптического оператора [17] и, независимо, Б. Л. Цыганом для вычисления гомологий алгебр Ли [14]. Далее последовало бурное развитие “циклической" теории: было установлено, что циклические (ко)гомологии естественно возникают в связи с алгебраической А'-теорией Вальдхаузсна, Я1 -эквивариантными гомологиями топологических пространств, псевдоизотопиями топологических пространств, инвариантами плоских кривых в теории особенностей и т.д.
Наиболее ясно значение циклических гомологии и связанных с ними конструкций проявляется в рамках общей “философии” некоммутативной геометрии, представленной А. Конном в работах [18], [17]. Ее основную идею можно сформулировать следующим образом.
Известно, что различные свойства пространств (топологических пространств, многообразий и т.д.) можно сформулировать эквивалентным образом на языке функций (непрерывных, гладких и т.д.) на этом пространстве. В этом смысле объект (пространство) задается коммутативной алгеброй функций на нем. В некоммутативной геометрии роль объ-

скта играет алгебра (не обязательно коммутативная), уже не связанная напрямую с пространством п являющаяся аналогом алгебры функций. При этом циклические гомологии оказываются одним из важных элементов теории. Выражаясь неформально, можно сказать, что в некоммутативной геометрии циклические гомологии играют ту же роль, что и гомологии де Рама в коммутативной.
Бивариантные циклические когомологии были введены Дж. Джонсом и Кр. Касселем для исследования отображений, задающих изоморфизм в циклических гомологиях (НС-эквивалентности) и для классификаций операций в циклических гомологиях. Их построение было отчасти мотивированно паралеллизмом с А'А’-тсорисй Каспарова.
Циклические бивариантные когомологии обобщают обычные циклические (ко)гомологии на случай пары алгебр А и В и являются важным техническим средством, используемом для построения изоморфизмов в циклических гомологиях и для построения отображений из А-теорин (см. [30]. [20]. [41], [38]).
В работе Ж.-Л. Лодэ и Д. Квиллена [36] и, независимо, Б. Цыганом [К] был построен изоморфизм циклических гомологий и примитивной части гомологий алгебры Ли у1(А)
РгітЕ*{дІ{А)) = НС*_ЦА).
Таким образом, имея в виду известный изоморфизм
РгипіиСЦЛ)) 9* 0 Кп(А) СУ д.

циклические гомологии можно рассматривать как аддитивный аналог алгебраической А’-тсории (в работах Б. Фейгина и Б. Цыгана они так и называются “аддитивная К-теория”). Другой, сходный результат был получен Т. Гудвилли в работе [23]. Им был построен изоморфизм
Кп(А, I) ® д £ НСМ_, (А. I) « д.
где I ----- нильпотентный идеал алгебры А.
Вычисление групп Кп алгебраической А'-теорин является одной из наиболее сложных задач, имеющих многочисленные приложения в алгебраической топологии, теории чисел и других разделах. Поэтому вычисления циклических гомологий кольца целых элементов квадратических расширений рациональных чисел
а, = г(д/2), Ао = д(д[/о,/ж]),
где иА, и)^ : ВС^(А) —> ВС^(А), г > 0, / > О, записываются как
« «&-(->)*'(!+ ИЛг)
соответста еипо. □
1.5 Кватернионный комплекс ВО^с^А)
1.5.1 Прейдем теперь к кватернионному случаю. Рассмотрим следующий комплекс £*,*(А) :
{А®*, Ь)<-А-(А®*, -Ь') 0 (А®*, -6)<-А—(А®*, Ь) 0 (А®*, £/) АЦп®*, -6'),
составляющий “период” комплекса СО*,*(А) (см. п. 1.3.5). По-другому его можно записать следующим образом
СП, (А) ©-СП* (А)[1] ф — Ваг* (А) [1] 0 Ваг* (А) [2] ФСК* (А) [2] ® —Ваг* (А) [3],
где С[?г]* обозначает тг-кратную надстройку комплекса С*, то есть С[п]д. — 6У_П, а знак ” перед комплексом означает смену знака дифференциала комплекса. Тогда дифференциал в 2*,*(А) имеет вид
1 - У 1-1 0 0 0
0 -ь 0 і - 1 -1-у
0 0 -V і + уі N
0 0 0 1/ 0 уі-
0 0 0 0 ь 1 - і
0 0 0 0 1)' )
(обозначения тс же, что и в п.1.3).
Обозначим диагональную часть с/д через
д, — сИау{Ь, —6, —Ь /У, Ъ, {/},
а оставшуюся через 5 — (/д — (1. Применим лемму о возмущении к следующей специальной деформационной ретракции
(Є'.,.(Я),Ь)і=ф=5 (Й.,.(Л).(/;5),

О' = СН*(А) © -С7**(А)[1] ©СЯ*(А)[2],