Эйнштейновы солвмногообразия малой размерности

• Автор: Никитенко, Евгений Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Рубцовск
• Количество страниц: 107 с. : ил.

• Содержание

♦ Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Эйнштейновы солвмногообразия и метрические алгебры Ли

1.2 Структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли

2 Шестимерные эйнштейновы солвмногообразия

2.1 Достаточные условия стандартности эйнштейновых солв-многообразий

к 2.2 Классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообра-

2.3 Шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны

3 Семимерные эйнштейновы солвмногообразия

3.1 Классификация пятимерных нильпотентных метрических
® алгебр Ли
, 3.2 Нестандартные эйнштейновы солвмногообразия
3.3 Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны
Литература

Данная диссертация посвящена исследованию односвязных римановых солвмногообразий с метрикой Эйнштейна. Такие солвмногообразия образуют важный класс некомпактных однородных эйнштейновых многообразий, т. е. многообразий (М, р), для которых кривизна Риччи в каждой точке связана соотношением Шс(р) — С • р с римановой метрикой р для некоторой константы С. Для неплоских некомпактных однородных эйнштейновых многообразий константа С обязана быть отрицательной.
Энциклопедическим изданием по вопросам, связанным с эйнштейновыми многообразиями, является книга А. Бессе [5]. О более свежих результатах можно узнать из обзоров [17, 46]. Хорошо известно, что все многообразия Эйнштейна в размерностях 2 и 3 изометричны пространствам постоянной кривизны. Г. Йенсен в работе [33] показал, что каждое четырехмерное однородное односвязное многообразие Эйнштейна изометрично симметрическому пространству. Классификация пятимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в [21]. Частичная классификация шестимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в работе [43]. В работе [41] дана полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна размерности 7. К. Боем и М. Керр в работе [24] классифицировали все компактные односвязные однородные пространства размерности < 12 и доказали, что все такие пространства в размерности < 11 допускают инвариантную метрику Эйнштейна. Сильные структурные результаты и теоремы существования для инвариантных эйнштейновых метрик получены в работах [23, 25].
В некомпактном случае структура однородных эйнштейновых многообразий изучена менее обстоятельно. Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5 классифицированы в работе [42]. В размерности 6 и выше классификация однородных некомпактных эйнштейновых многообразий в настоящее время не известна. В тоже время, известно много примеров некомпактных эйнштейновых многообразий в разных размерностях. Заметим, что все известные на сегодняшний день некомпактные однородные многообразия Эйнштейна изометричны эйнштейновым солв-многообразиям. Существенным продвижением на пути к классификации однородных эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи могло бы стать доказательство гипотезы Д. В. Алексеевского [1], утверждающей, что для произвольного некомпактного однородного многообразия Эйнштейна М = (7/Н отрицательной кривизны Риччи, группа изотропии Н является максимальной компактной подгруппой группы С. В случае истинности приведенной гипотезы существует разрешимая подгруппа (5 группы (2, действующая на М просто транзитивно. Таким образом, задача классификации в этом случае сведется к классификации эйнштейновых солвмногообразий.
Д. В. Алексеевский в [2] получил классификацию однородных многообразий Эйнштейна неположительной секционной кривизны в размерности < 5. Отметим, что в процитированной работе Д. В. Алексеевский нашел также все стандартные пятимерные эйнштейновы солвмногообразия. Полная классификация пятимерных эйнштейновых солвмногообразий получена 10. Г. Никоноровым в [16]. Частичные классификации эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи получены многими авторами. Э. Картаном (см. [20]) классифицированы симметрические пространства некомпактного типа. И. И. Пятецкий-Шапиро, С. Г. Гиндикин,
Э. Б. Винберг [18, 19, 10, 29] создали структурную теорию ограниченных однородных областей, которые моделируются на вполне разрешимых нормальных ^'-алгебрах. Д. В. Алексеевский [1] и В. Кортес [26] классифицировали кватернионно-кэлеровы многообразия, моделируемые на вполне раз-

(1.1.1) получаем, что
К(Хі, V) = —(660zjt2 + llVV2/1 - 22t2zizz - 5z - 132zjt2 - 8^j

8/ЗЗг2 2^ — ЗЗ^з),
где V = 21X3 + 22У + 2зІ2- Рассмотрим К(Х, V) как квадратичную форму относительно переменных 2і, 22 и 2:3. Ее матрица имеет вид

( -^(5 + 132*2)г2 0 ^Vl - 22t2r2
0 ~7ШЬ'г2
л^^тч2 --уt-r2 |(20й2-і)г2
Нетрудно вычислить характеристический многочлен рассматриваемой матрицы:
Р(А) = А3—-^г2(264£2—23)А2 ——7—г4(43560£4—2145І2—53)А—-^-гб(22£2—I)2. оо 2178 Зоо
Поскольку Р(0) = —з|зГ6(22^2 — I)2 < 0, если 0 < t < 1//22, и Р(А) -> +оо
при А —> +оо, то одно из собственных чисел матрицы М положительно
и означает, что на некоторой двумерной площадке секционная кривизна
метрической алгебры s(t,r) (0 < t < 1 /л/22) положительна.
Для исследования метрической алгебры д(1//22, г) мы рассмотрим ее
новый базис
{Xi,X2,X3,X4,YhY2},
где Yi = cos(0)Yi + sin(0)Y2, У2 = sin(#)Yi — cos(0)Y2, а в = arctg(/6/4). При этом становится очевидно, что д(1/л/22, г) изометрична прямой ортогональной сумме метрических алгебр Ли Si 052, где si = {Xi,X2,X2, Yi}, [XhX2] = s/2/ЗгХз, [їі.х,] = ^Xu = fex2, 3] = з/ЩгХ3у
s2 = {X4, Y2}, [Y2,X4] = rX4. Более того, метрическая алгебра 5 соответствует солвмногообразию, изометричному симметрическому пространству SU(2,l)/S(U(2) х U( 1)), а алгебра 52 соответствует солвмногообразию, изометричному симметрическому пространству 50о(2,1)/50(2) [2]. Таким образом, лемма полностью доказана. ■