Минимальные лагранжевы подмногообразия в проективных комплексных пространствах в терминах функции Бейкера-Ахиезера

• Автор: Рыбников, Иван Павлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Минимальные лагранжевы подмногообразия с диагональной метрикой в СРП

1.1 Уравнения лагранжевых подмногообразий в СРП

1.2 Лагранжев угол лаграпжева подмногообразия

1.3 Критерий минимальности погружений в СРП

1.4 Функция Бейкера-Ахиезера

1.5 Лагранжевы подмногообразия в СР"

1.6 Минимальные лагранжевы погружения

1.7 Формулы для минимальных лагранжевых погружений в

случае гиперэллиптической спектральной кривой

1.8 Примеры минимальных лагранжевых погружений,
соответствующих сингулярным спектральным кривым
2 Криволинейные ортогональные системы координат в>5"и Нп
2.1 Конструкция Кричевера построения криволинейных
ортогональных координат в!"
2.2 Модификация конструкции Кричевера
2.3 Ортогональные координаты па пространствах постоянной
кривизны, отвечающие сингулярным кривыми. Примеры

Введение
Подмногообразие в СРП вещественной размерности п называется лаг-ранжевым, если на нем зануляется симлектическая форма Фубини—Шту-ди. Подмногообазие минимально, если его вектор средней кривизны тождественно равен нулю.
Минимальные лагранжевы подмногообразия интересны как с точки зрения интегрируемых систем, так и с точки зрения их приложений в аналитической механике (см. [1]). Так же такие подмногообразия играют важную роль в теории струн, точнее в их приложениях к зеркальной симметрии. В математическом описании зеркальной симметрии, предложенном в [2], зеркальная симметрия между многообразиями Калаби-Яо Ь и Ь2 объясняется в терминах двойственных трехмерных минимальных лагранжевых торов и некоторых трехмерных сингулярных лагранжевых подмногообразий.
Для СР2 теория минимальных лагранжевых торов хорошо изучена. Первые явные примеры таких торов получены Кастро и Урбано в [3]. Торы, построенные в [3], обладают свойством, инвариантности относительно действия некоторой однопарамметрической группы изометрий СР2. Это условие для минимального лагранжева

подмногообразия позволяет в окрестности каждой точки ввести конформный параметр г = х + iy так, что индуцированная метрика д имеет вид д = еи^хЫг(1г. Известно, что функция и должна удовлетворять уравнению Цицейки, но поскольку и зависит от одной переменной, это уравнение переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение
ихх + е2и - е-4“ = 0. (1)
Решения уравнения (1) известны, они выражаются в эллиптических функциях. В [3] из этих решений выбираюся двоякопериодические, и по этим решениям строятся торы.
В [4] Хаскинс строит примеры минимальных лагранжевых конусов в С3 , инвариантных относительно действия [/(1). Задача построения таких конусов и минимальных лагранжевых подмногообразий эквивалентны (см. параграф 1.1). Конусы в [4] определяются следующим образом. Для любого компактного связного ориентированного подмногообразия £ в 52п”1 определим конус С(£) С С":
С7(£) — ■(£х : £ М ^ 0, :£ € X}.
Причем С(£) является минимальным лагранжевым конусом тогда и только тогда, когда £ — минимальной лагранжево подмногообразия в 32п~1. Основным результатом этой статьи является построение двупараметрического семейства минимальных лежандровых отображений и : М2 —>■ 55, и нахождение условий двоякопериодичности таких отображений. То есть построено семейство таких минимальных лагранжевых торов, что их пересечение с 55 являются торами. Ключом к такому построению служит тот факт, что конформное гармоническое
<3* 71 Тр
2тх2д+1 J П2.7+2, т = (-*1, 0), Ку = К — ] ш — ••• — / ш, где К — вектор

римановых констант, 7; — некоторые точки Г (см. теорему 2).
Доказательство. Для доказательства теоремы 3 нужно подобрать спектральные данные так, чтобы все условия теоремы 2 были выполнены. Зададим на Г голоморфную и антиголоморфную инволюции
т : (г, и>) —> (г, —ш), у, : (г, ш) —> (г,и>).
г = (гь 0), Д = (г2, 0), ... , Дд+х = (229+2, 0) неподвижны относительно унт. Положим <2г = (риу/Р{р1)), <32 = (ри ~ л/Р^й)),-- -, <52Э+1 = (Рр+1. /-Р(^+1))> <52.9+2 = (Ра+ь-т/Р(рЙЙ))- Так как ф; неподвижны относительно Д, ТО р4 6 Е, Р(Рг) > 0. Положим 7; = (701,^(70;)). * =
1,... ,д. Поскольку утЦ) = 7, то 70г € Е, Р(7ог) < 0.
Мероморфиый дифференциал П с дивизорами нулей и полюсов
(П)о = 7 + Ц7 + Р1 + ■ ■ • + Р2д+1, (П)оо — п = (2~71л)--- (г- 70й)^£
(г - г1)(г-р1)... (г~рд+1)'
Лез0„,П . Ле5о„«Л =
{Рг - «0 П (Р* - V])
Очевидно, что выполнения условий Дев^-П > 0 можно добиться соответствующим выбором спектральных параметров.
Выберем в окрестностях Д локальные параметры Д = ■ш. Тогда в окрестностях Р.1 имеет место разложения П = (ъи> 3- ^и;2 + ...)дт,