О многомерных цепных дробях модели Клейна: классификация двумерных граней, алгоритмы, примеры

• Автор: Карпенков, Олег Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 162 с. : ил.

0.1 Об одном обобщении одномерных цепных дробей на многомерный
случай
0.2 Результаты работы
0.3 Задача о двумерных гранях парусов многомерных цепных дробей
0.4 Об алгоритмах построения парусов многомерных цепных дробей
0.5 Примеры фундаментальных областей парусов двумерных цепных
дробей
0.6 Организация работы
Глава I. Основные определения
1 Обгцие определения
2 Определение многомерной цепной дроби
2.1 Многомерные цепные дроби по Клейну
2.2 О взаимосвязи между одномерными цепными дробями по Клейну
и обыкновенными цепными дробями
2.3 Многомерные цепные дроби, связанные с общим гиперболическим оператором
2.4 Определение п-мерной цепной дроби (п + 1)-алгебраической иррациональности. Обобщения теоремы Лагранжа
3 Целочисленные инварианты и разбиения торов
3.1 Некоторые примеры целочисленно-линейных и целочисленно-аффинных инвариантов
3.2 Целочисленные расстояния и углы между целыми плоскостями, разбиения тора

Глава II. Двумерные грани
4 Формулировка основной теоремы
5 Предварительные определения и утверждения
5.1 Предварительные определения и обозначения
5.2 Утверждение о специальных сечениях целого параллелепипеда
5.2.1 Лемма о специальных сечениях целого параллелепипеда с пустой гранью
5.2.2 Доказательство утверждения 5
5.3 Следствие о целочисленных расстояниях между противоположными вершинами и плоскостями граней пустого тетраэдра
6 Вспомогательное следствие о пустых целых тетраэдрах
6.1 Лемма об одном узле решётки
6.2 Доказательство следствия 6
6.3 Классификация пустых треугольных отмеченных пирамид
6.4 Классификация пустых тетраэдров
7 Доказательство теоремы 4.1: многоугольные отмеченные пирамиды
7.1 Утверждение о целом параллелограмме внутри целого многоугольника
7.2 Случай пустой отмеченной пирамиды с пустым параллелограммом в основании
7.3 Случай вполне пустой отмеченной пирамиды с целым параллелограммом в основании с единственной целой точкой внутри
7.4 Общий случай
8 Доказательство теоремы 4.1: треугольные отмеченные пирамиды
8.1 Случай 1: треугольное основание содержит целый многоугольник

8.2 Случай 2: целые точки основания, отличные от его вершин, не лежат на одной прямой
8.3 Случай 3: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат
на одной прямой, первый вариант расположения прямой
8.4 Случай 4: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат
на одной прямой, второй вариант расположения прямой
8.5 Случай 5: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат
на одной стороне основания
8.6 Неизбыточность списка "МЛУ” теоремы 4
9 Классификация компактных двумерных граней
9.1 Теорема Муссафира
9.2 Формулировки классификационных утверждений о двумерных гранях
10 Доказательство теоремы 9.2
10.1 Полнота списков ”а„” теоремы 9.2 при п >
10.2 Реализуемость граней из списков ”а„” при п >
10.2.1 Реализуемость треугольных граней
10.2.2 О реализуемости многоугольных граней
10.2.3 О реализуемости граней из списков ”ап” при п >
10.3 Неэквивалентность граней из списка "ап” (при п> 2)
10.4 О многоугольных гранях двумерных цепных дробей
11 Неисследованные задачи
Глава III. О новом алгоритме
12 Описание нового алгоритма
12.1 Основная схема алгоритма
12.2 Основные элементы алгоритма

перестановками. Тем самым, неупорядоченный набор [1,£, г — £] является инвариантом. Этот инвариант с очевидностью различает все отмеченные пирамиды Р/ при одинаковом целочисленном расстоянии г.
Все утверждения следствия доказаны. □
Утверждение 6.7. Пусть целые числа £ иг взаимно-просты и удовлетворяют следующим неравенствам: г > 2, 0 < £ < г/2. Тогда отмеченная пирамида Р/ целочисленно-аффинно эквивалентна отмеченной пирамиде Т^г.
Доказательство. Отмеченная пирамида Т/Т получается из отмеченной пирамиды Р/ при помощи целочисленного линейного преобразования, задаваемого матрицей
( е + 1 £ -£
г — 1 г — 1 2 — г ^ — г —г г — 1 у

Следствие 6.8. Любая целая пустая г-этажная (г > 2) треугольная отмеченная пирамида целочисленно-аффинно эквивалентна одной из отмеченных пирамид вида Т±г, где целые числа £ и г взаимно-просты, причём 0 < £ < г/2. Перечисленные целые треугольные отмечемте пирамиды пусты и попарно целочисленно-аффинно неэквивалентны (кроме того, они попарно целочисленно-аффинно неэквивалентны при разных г). □
6.4 Классификация пустых тетраэдров.
Отметим, что имеется различие между классификацией пустых треугольных отмеченных пирамид (с выделенной вершиной) и пустых тетраэдров (без выделенной вершины).
Первые шаги для классификации пустых тетраэдров алгебраическими методами предпринял Ж.-О. Муссафир в своей работе [42]. В работе Муссафира пустые тетраэдры приводятся к эрмитовым нормальным формам.