Внутренняя геометрия поверхностей и распределений проективно-метрического пространства

• Автор: Абруков, Денис Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 130 с.

Оглавление

Общая характеристика работы

1. Постановка вопроса

2. Актуальность темы

3. Цель работы

4. Методика исследования

5. Научная новизна полученных результатов

6. Теоретическая и практическая значимость

7. Апробация

8. Публикации

9. Вклад автора в разработку избранных проблем
10. Структура и объем работы
11. Некоторые замечания
Содержание диссертации
ГЛАВА I. Внутренняя геометрия /я-мерной поверхности проективно-метрического пространства
§ 1. Проективно-метрическое пространство К„
§2. Распределение т-мерных линейных элементов проективнометрического пространства Кп и ассоциированное с ним гипер-полосное распределение
§3. Полный фундаментальный геометрический объект т-мерной поверхности Ут (т<п-1), не принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства
1. т-мерная поверхность Ут (т<п-1) пространства К„ и ассоциированная с ней гиперполоса
2. Инвариантные оснащения регулярной гиперполосы Нт, ассоциированной с поверхностью Ут с Кп (т<п-1)
3. Полный внутренний фундаментальный геометрический объект поверхности УтсгКп (т<п-1)

§4. Геометрия т-мерной поверхности, принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства
1. /л-мерная поверхность Ут (т<п-1), принадлежащая абсолюту проективно-метрического пространства, и ассоциированная с
ней гиперполоса
2. Двойственный образ регулярной квадратичной гиперполосы
/МО* ,)
3. Инвариантные оснащения в смысле Нордена-Чакмазяна регулярной гиперполосы Нт((дп_у)
4. Внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых нормализацией регулярной квадратичной гиперполосы
5. Связь между геометриями поверхности Ут с <3^ и т-мерной поверхности конформного пространства Сп_
ГЛАВА II. Двойственная геометрия распределения гиперплоскостных элементов проективно-метрического пространства
§1. Тангенциальное проективно-метрическое пространство Кп, индуцируелюе регулярным распределением гиперплоскостных элементов
1. Поля геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов
2. Двойственный образ регулярного распределения гиперплоскостных элементов 91 в Кп и тангенциальное проективнометрическое пространство Кп
$ 2. Двойственные нормализации регулярного распределения гиперплоскостных элементов
1. Двойственные поля соприкасающихся гиперквадрик
2. Внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена распределения 93 в Кп
3. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов
£ 3. Метрика тангенциального проективно-метрического пространства
§4. Внутренняя геометрия нормализованного тангенциального проективно-метрического пространства
ГЛАВА III. Геометрия гиперповерхности проективно-метрического пространства
§1. Двойственный образ регулярной гиперповерхности У„_г пространства К„
§2. Полярная гиперповерхность проективно-метрического пространства
1. Дифференциальные уравнения полярной гиперповерхности

2. Двойственный образ полярной гиперповерхности
§3. Взаимные и полярные двойственные нормализации гиперповерхностей Ки_] и Уп_х пространства Кп
§4. Двойственные аффинные связности, индуцируемые полярными нормализациями гиперповерхностей К„_1 и К„_, пространства
ЛИТЕРАТУРА

стью Ут, примут вид [77], [84]:
Здесь функции Му , Му относятся к дифференциальной окрестности второго порядка, а функции УТ - к дифференциальной окрестности четвертого порядка текущей точки поверхности Ут.
Таким образом, справедлива
Теорема 1.2. Поверхность Ут с К„(т<п-1), не принадлежащая абсолюту пространства Кп, в дифференциальной окрестности второго порядка внутренним образом порождает инвариантно присоединённую к ней гиперполосу Нт, для которой данная поверхность является базисной. Гиперполоса Нт регулярна тогда и только тогда, когда невырожден тензор ЬаКс‘у второго порядка. Уравнения регулярной гиперполосы Нт в репере третьего порядка й' = {Вимеют вид (1.27).
Таким образом, изучение поверхности Ут, текущая точка которой принадлежит абсолюту (З,,.,, сводится к изучению регулярной гиперполосы Нт.
Уравнения (1.14) неподвижности абсолюта ()„_] проективнометрического пространства Кп с учетом соотношений (1.20) и уравнений (1.25), (1.27) перепишутся, в частности, в виде:
Отметим, что выражение (1.7) с использованием (1.20), (1.25) запишется в виде
(1.28,)
(1-282)
^ "7 ак ^2« (1.28з)
(1.29)
Продолжая уравнения (1.27), с учетом выражения (1.29) имеем
(1.31)
(1.30)