Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств

• Автор: Выплавина, Раиса Порфирьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 c. : ил

Глава I. Простые и квазипростые алгебры и группы Ли.

Картанов и квазикартанов алгоритмы

1. Простые и квазипростые алгебры

2. Простые и квазипростые группы Ли

3. Комплексная, двойная и дуальная структуры в многообразиях прямых

Глава II. Аффинные и проективные пространства над алгебрами и их интерпретации

1. Аффинные геометрии

2. Проективные геометрии

Глава III. Эрмитовы метрики в пространствах над алгебрами и их вещественные интерпретации

1. Эллиптические метрики в пространствах над телами

и тензорными произведениями тел

2. Эллиптические метрики в пространствах над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те же комплексные Форш, что и тензорные произведения

3. Эллиптические метрики в пространствах над ква-зипростыми алгебрами
4. Гиперболические метрики в пространствах над телами и тензорными произведениями тел
5. Гиперболические метрики в пространствах над квазипростыми алгебрами
6. Евклидовы метрики в пространствах над алгебрами

Глава ІУ. Геометрические конструкции отображений расширенных алгебр на многообразия прямых и
плоскостей вещественных пространств
1. Отображение расширенных алгебр Д2© с эллиптическими метриками на многообразия прямых 3-пространств
2. Отображение расширенных алгебр Д2®Е2 с гиперболическими метриками на многообразия прямых 3-пространств
3. Отображение алгебр с евклидовыми метриками на многообразия прямых 3-пространств
4. Отображение алгебр на многообразия прямых 5-пространств
5. Отображение алгебры на многообразия
3-ллоскостей 7-пространств
Глава V. Дифференциальная геометрия в эрмитовых пространствах над алгебрами
1. Деривационные формулы эрмитовых пространств
2. Углы и орты наклонов вещественных 2-площадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел
3. Вещественные кривые в пространствах над алгебрами
и моносистемы т -плоскостей
4. Линейные элементы в многообразиях прямых и плоскостей
5. Структура окрестности прямой и плоскости в многообразиях прямых и плоскостей
6. Вещественные поверхности в пространствах над алгебрами и конгруэнции прямых
Литература

Дель работы. Важную роль в многочисленных исследованиях, относящихся к проективным и неевклидовым пространствам над алгебрами, играют вещественные интерпретации этих пространств. Целью настоящей работы является выявление общих закономерностей в вещественных интерпретациях одномерных проективных, аффинных, эрмитовых евклидовых и неевклидовых пространств над алгебрами широкого класса, включающими в себя тела, тензорные произведения тел и алгебры, имеющие те же комплексные формы, что тела и их тензорные произведения, а также алгебры, получаемые из перечисленных выше алгебр, определенными алгоритмами, называемыми в работе картановым и квазикартановым алгоритмами. Все эти геометрии являются геометриями простых, полупростых и квазипрос-тых групп Ли. Рассматриваемые в работе пространства над алгебрами интерпретируются в виде многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств с проективными метриками. В работе решаются также задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств.
Актуальность темы определяется тем, что в настоящее время интенсивно развиваются такие разделы геометрии как геометрия пространств над алгебрами и геометрия семейств прямых и плоскостей в пространствах с фундаментальными группами. Исследования в этих областях ведут многие советские и зарубежные геометры:
В.В.Вишневский, Р.М.Гейдельман, В.Ф.Кириченко, Г.И.Кручкович,
A.П.Норден, Б.А.Розенфельд, А.П.Широков и их ученики, а также
B.Бенц, Ш.Кобаяси, Ж.Тите, Г.Фрейденталь и многие другие. Актуальность темы исследования определяется также важностью геомет-

плоскостей и гиперболических )-плоскостей вещественных

пространств 2. , причем группы движений этих прямых локально изоморфны группам движений соответственных вещественных гиперболических (р+гз.-1 )-пространств.
- е
Изометричность прямых ^ИР) сферам в пространствах г£р41
доказана в [40, с. 630] для р=2,4; доказательство для р=8 аналогично доказательству для прямой ^ (.0^) , тем самым утверждение теоремы доказано для с^-1 • Полярные точки прямых СИР) изображаются диаметрально противоположными точками этих сфер, поэтому пары полярных точек прямых (1Р) изображаются точками гиперболических пространств * 8р и полярными им ( р-1 )-плоскостями, т.е. пары полярных точек прямых
£ я
изображаются гиперболическими прямыми пространств г ьр и их полюсами.
Интерпретация прямой ^СЛг) по существу совпадает с интерпретацией многообразия прямых плоскости на плоскости двойного переменного [63, с. 119-129] . Зти интерпретации прямых С1р) можно получить также применяя алгоритм Кардана к компактным группам движений прямых ^(Жр) и пространств 5>р •
г**
Некомпактные простые группы движений прямых ^ £2^
(<^,-2Д8 ) могут быть получены из компактных простых или полу-простых групп движений прямых алгоритмами Нартана,
соответствующими инволютивным автоморфизмам этих групп, опре-деляемым отражениями прямых от нормальных цепей, являющихся прямыми ^ С^) . Так как при изображении пар поляр-ных точек прямых Я, (0^®ВСг) прямыми пространств
эти нормальные цепи изображаются связками прямых пространств <Ц.Н , т.е. точками этих пространств, отражения от этих