Универсально вписанные и описанные многогранники

• Автор: Макеев, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 156 с. : ил.

ГЛАВА 1. Задача о непрерывных функциях на сфере (задача Кнастера) в

евклидовом пространстве

§ 1. Лемма о непрерывной функции на многообразии Штифеля 2-реперов

§ 2. Применение к задаче Кнастера

§ 3. Инфинитезимальная задача Кнастера

§4. Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени на двумерной сфере

§ 5. Обобщение задачи о непрерывных функциях на сфере евклидова пространства

§6. Контрпример к гипотезе Кнастера

ГЛАВА 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела)

§ 1. Введение и метод доказательства

§2.0 четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую

§ 3. О пятиугольниках, вписанных в замкнутую кривую
§ 4. Вписанные и описанные шестиугольники для выпуклой фигуры ... 45 § 5. О многоугольниках, вписанных в сечение и описанных вокруг проекции выпуклого тела Ц £
§ 6. Применение к универсальным покрышкам 5
ГЛАВА 3. Подобно вписанные и описанные многогранники вМ3 5"3
§ 1. Подобно вписанные и описанные трехмерные четырех и пятивершин-ники и пятигранники
§2. Подобно вписанные шестивершинники и описанные шестигранники 5?
§ 3. Многогранники, описанные вокруг выпуклых тел постоянной ширины 6 ■? § 4. Подобно вписанные пятивершинники
§ 5. О симплексах, вписанных в выпуклое тело

§ 6. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного выпуклого компакта
ГЛАВА 4. Аффинно вписанные и описанные многогранники 8Ц
§ 1. О возможности вписать аффинный образ кубооктаэдра в трехмерное выпуклое тело
§ 2. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного тела.1
§ 3. Вписанные и описанные многогранники для центрально-симметричного выпуклого тела.Н
§4. Эквидистанционная проблема
§5. Кубы и октаэдры в нормированном пространстве
ГЛАВА 5. О плоских сечениях выпуклых тел 44 О
§1. О плоских сечениях трехмерного и четырехмерного выпуклого тела МО § 2. Асимптотически точная оценка асферичности двумерного сечения многомерного выпуклого тела
§ 3. Об одновременном приближении сечения нескольких выпуклых тел эллипсоидами или кругами
§4. О двумерных подпространствах нормированного пространства
§5. Финслеровы метрики на векторных расслоениях над грассмановыми многообразиями 42
ГЛАВА 6. О делении непрерывно распределенной массы в евклидовом, проективном пространстве и на сфере -/33
§ 1. О делении непрерывно распределенной массы на плоскости 4
§2.0 делении плоскостями на равные части массы, непрерывно распределенной в трехмерном евклидовом пространстве
§ 3. Теоремы о делении плоскостями нескольких масс, непрерывно распределенных в евклидовом пространстве 4ЗН
§ 4. Гаспределения на З2 и ЯР2
Литература

В комбинаторной и выпуклой геометрии, для которой по замечанию Хопфа [(1953)] характерна взаимосвязь чисто метрических и топологических соображений, имеется немало задач для решения которых используются топологические соображения. Для решения задач на плоскости нередко достаточно элементарного свойства непрерывных функций принимать на отрезке все промежуточные значения ([Яглом, Болтянский, 1951], гл.З), но в более высоких размерностях задачи резко усложняются, и для их решения по-видимому следует использовать более серьезные топологические соображения.
Во многих задачах выпуклой и комбинаторной геометрии при попытке перенести двумерный результат на более высокие размерности уже в размерности три мало законченных результатов, а в более высоких размерностях почти ничего не известно [(Болтянский,Гохберг,1965), (Грюнбаум,1963), Яглом, Болтянский, 1951].
В данной диссертации топологические средства используются для поиска многомерных (чаще всего трехмерных) аналогов некоторых теорем из двумерной геометрии и для решения некоторых экстремальных задач выпуклой геометрии в евклидовых и нормированных пространствах.
Первая глава содержит нижеследующую топологическую лемму и ее применение к известной задаче о непрерывных функциях на сфере в евклидовом пространстве [(Макеев,1989)].
На многообразии Штифеля 2-реперов в евклидовом пространстве Мп свободно действуют циклические группы Ят поворотами реперов в их плоскости на кратные углы. Имеются в виду повороты в направлении от первого вектора репера ко второму. Ниже мы будем рассматривать на многообразии И2,п вышеописанное действие циклической группы простого нечетного
порядка р, образующую которой обозначим через

Глава 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела)
подмногообразие М многообразия V коразмерности 2. Пусть для некоторого тела множество /(М) не задевает прямую Ь : х = ж2 = ■ ■ ■ — хр. Так как все гладкие выпуклые тела с выделенной внутренней точкой гладко гомотопны шару с выделенным центром, то многообразие М кобордантно 14,«; т.е. существует такая пленка IV С V х [0,1], трансверсально выходящая на края, что IV Г)У х О = М и IV П 1/ х 1 = 14,„, где 14,„ — наборы векторов с началом в точке О € К. Пусть к : У/ —> V — проекция на первый сомножитель. Рассмотрим отображение / о я- : IV —* В?, которое по построению не задевает Ь. Как показано в [Макеев 1989], степень сужения / о тг на верхнее основание Я2„_з(14,п;2) —» Я2г1_з(Я271-1 Ь; Ъ) ненулевая. Степень сужения / о7Г на нижнее основание Я2„_з(М"; Z)Я2n_з(Я2"_1 А; Z) такая же, поэтому /(М) задевает плоскость хх = х2 = ■ • ■ = хр-, но с учетом Хл=1хг^» = б получается, что /(М) задевает Ь. Противоречие.
Замечание. Вероятно, справедливо более сильное утверждение, что для любого вписанного в окружность 2п-угольника через любую внутреннюю точку выпуклого тела в Я" проходит такаое двумерное сечение, в которое можно вписать подобный образ этого многоугольника.
Следствие. Для простого 2п — 1 через каждую точку пространства Я71, лежащую внутри выпуклой замкнутой компоненты алгебраической гиперповерхности степени < п — 1 проходит плоскость, пересекающая эту компоненту по окружности.
Искомым по теореме Везу является существующее по теореме 1 плоское сечение со вписанным правильным (2п — 1)-угольником. Ограничение на компоненту гиперповерхности существенно: на уровнях многочлена / — г —ху в Я3 вовсе не лежат окружности.
§ 6. Применение к универсальным покрышкам