Дискретные группы изометрий гиперболического пространства

• Автор: Маслей, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Определения и предварительные результаты

1.1 Группа РЭЬ(2, С) и ее действие на Н3 и С

1.2 Двупорожденные подгруппы РЗЦ2,С)

1.3 Теорема комбинирования Клейна — Маскита

1.4 Группы с двумя эллиптическими порождающими

2 Достаточные условия дискретности

2.1 Группы с двумя локсодромическими порождающими .

2.2 Группы с локсодромическим и эллиптическим порождающими

3 Условия дискретности для групп Маскита

3.1 Группы, порожденные непараболическим элементом и
инволюцией
3.2 Группы Маскита
Литература

Введение
Объектом исследования в данной работе являются дискретные группы сохраняющих ориентацию изометрий трехмерного гиперболического пространства Н3. Теория дискретных групп преобразований восходит к мемуарам А. Пуанкаре и Ф. Клейна конца XIX века. С самых истоков эта тематика элегантно сочетает в себе идеи анализа, теории групп, топологии и геометрии. В последние сорок лет интерес к ней во многом связан с программой геометризации У. Терстона, в которой гиперболические многообразия и орбифолды играют ключевую роль.
Хорошо известно, что группа всех сохраняющих ориентацию изометрий Н3 изоморфна группе Р8Ь(2, С). Элемент д е Р8Ь(2,С), где д = {±М} и М € 8Ь(2, С), называется эллиптическим, параболическим или локсодромическим, если 1т2(М) е [0; 4), Ьг2(М) — 4 или Ьг2(М) 6 С[0;4] соответственно. Нетривиальный непараболический элемент оставляет инвариантной единственную геодезическую в Н3, которая называется его осью.
Дискретные подгруппы Р8Ь(2, С) действуют собственно разрывно в И3. Тем самым объясняется интерес к ним с точки зрения теории униформизации. Основные сведения по теории дискретных групп можно найти в [1, 2, 3, 4].
Существует несколько подходов к изучению свойства дискретно-

сти подгрупп РЭЬ(2, С). Напомним, что если стабилизатор точки р е Н3 в дискретной группе С < РЭЬ(2,С) не тривиален, то он изоморфен одной из точечных групп: циклической, диэдральной, тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдральной. В [5] Д. А. Дерев-нин, А. Д. Медных и в [6] Ф. Геринг, Т. Маршалл, Г. Мартин установили нижние оценки на расстояния между точками в Н3, стабилизаторы которых в дискретной группе изоморфны группе тетраэдра, октаэдра или икосаэдра. Оценки на расстояния между осями эллиптических элементов в дискретной группе были найдены в [7, 8]. Все эти результаты являются необходимыми условиями дискретности.
Достаточные условия дискретности даются теоремой комбинирования Клейна — Маскита (см. §1.3) и теоремой Пуанкаре о фундаментальном многограннике (см. [9, 10, 11]). Эти теоремы позволяют выписать копредставление группы.
В 1977 году Т. Йоргенсен [12] показал, что вопрос о дискретности группы (7 < Р8Ь(2,С) сводится к вопросу о дискретности ее двупорожденных подгрупп. Для некоторых классов двупорож-денных групп известны критерии дискретности. В [13] описаны все дискретные подгруппы Р8Ь(2, Е) с двумя порождающими. Критерии дискретности для большинства АТР-групп приведены в [14, 15]. Тем не менее, классификация всех двупорожденных дискретных групп до сих пор остается открытой и весьма сложной проблемой. Поэтому возникает интерес к нахождению необходимых и достаточных условий дискретности, которые проясняют ситуацию в целом.
Среди необходимых условий дискретности для двупоржденных групп отметим теоремы Т. Йоргенсена [16] и Д. Тана [17]. Эти условия имеют вид нестрогих неравенств, связывающих квадраты следов каждого из двух порождающих и след их коммутатора. Имен-

равно 8(/,д). Поэтому |ги| = е±6^,9 Более того, можно полагать, что |ги| = е6^,9 Действительно, если |ги| = е~6^’9 то вместо / и д рассмотрим /г/Л,-1 и кдк~1, где к = Е Р8Ь(2, С). Легко видеть,
что к(0) = оо, /г(сю) = 0, к(±1) - ±1 и /г(±ги) = ^ргг;-1. Следовательно, общий перпендикуляр к осям ^а/л-1 и ^кдЪг1 совпадает с I, ±1 є С - неподвижные точки элемента кдк~1, ±го-1 - неподвижные
В качестве ио выберем ту неподвижную точку элемента /, для которой 0 < ал^(ги) < 7Г. Если 0 < а^(го) < 7г/2, то а^(ги) = 0(/,д) если 7г/2 < ащ(ги) < 7Г, то a,Yg(w) = тг — в(/,д). Заменяя, если необходимо, / на /-1, будем считать, что го е С - притягивающая неподвижная точка элемента /.
Рассмотрим действие / и групп (/) и (р) имеют вид Д(/) = С {±го} и Д(^) = С {±1}.
Аналогично случаю 1 доказательства теоремы 2.1, используя гиперболический элемент
где су = —гисШ(т//2) и г у = |го|/ вЪ.(т;/2). Оно является внешностью кругов В у и -Ву-1- При этом, если и Е В^, то (В^ {гг}) и {/(гг)} -еще одно фундаментальное множество группы (/). Отметим также,
Построим фундаментальное множество для группы (д). Поскольку д - эллиптический элемент второго порядка, то Ьг(д) = 0. При этом,
точки элемента к/к 1 и их модули равны е6^,9
для группы (/) построим фундаментальное множество
Л) = Ь Є С : 2 — Су- > гу, 2 + с/ >иу>и{оо}
ЧТО /(/у) = /у-!.