Внутренние пространственные структуры

• Автор: Иванов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1980
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 220 c. : ил

ГЛАВА I. Структуры расширений

§ I. Основные определения

§ 2. Основные соотношения

§ 3. Экстремальные структуры

§ 4. Регулярные расширения

§ 5. Построение регулярных расширений

§ 6. Правильные расширения

§ 7. Правильные бикомпактные расширения

§ 8. Главные расширения

§ 9. Полнота и пополнение

§ 10. Редуктивные равномерные структуры

§ II. Отображения расширений топологических про с тиране тв
§ 12. Естественные отображения расширений топологических пространств
§ 13. Непрерывность естественных отображений
Глава II. Структуры топологического типа
§ I. Общая теория
§ 2. Битопологические пространства
§ 3. Сеттопологические пространства
§ 4. Кусочно-линейные и сеттопологические структуры
§ 5. Гладкие и сеттопологические структуры
Литература

ВНУТРЕННИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ Введение
I. Понятие "внутренняя пространственная структура" не является общепринятым понятием, а входящие в него термины допускают различные толкования, поэтому необходимо дать соответствующие пояснения. Обратимся, прежде всего, к интуитивно неопределенному, но часто употребляемому термину "структура". Известен [35] следующий вариант точного определения этого термина, которого мы и будем здесь придерживаться.
Пусть X- множество, на котором задается какая-то структура, Х^Х^,... некоторые вспомогательные множества. Начиная с множеств мы можем последовательно строить новые множества, применяя теоретико-множественные операции объединения, умножения и операцию Р перехода к множеству подмножеств. Структурой на X называют произвольную точку любого из построенных таким образом множеств.
Опыт показывает, что любая рассматриваемая в современной математике структура может быть интерпретирована в соответствии с этим определением. Например, метрическую структуру на X * заданную метрикой , можно рассматривать как график отображения |?:ХхХ ^""Я » являющегося подмножеством множества
X*Х* Я или же как точку множества Р(ХхХ*П) всех подмножеств множества . Здесь множество
Я вещественных чисел является вспомогательным множеством.
Под внутренней структурой мы будем понимать структуру, при построении которой не были использованы вспомогательные множества. В соответствии с этим определением метрическая структура не является внутренней структурой, так как при ее построении было использовано вспомогательное множество Я • с другой

стороны, произвольная топологическая структура (открытых множеств) на X есть, как легко заметить, точка множества Р1РХ) и потому она является внутренней структурой.
В современной математике рассматриваются разнообразные структуры. Некоторые из них считаются пространственными структурами (структуры топологических пространств, метрических пространств, равномерных пространств, дифференцируемых и кусочно-линейных многообразий ...), другие же, например, алгебраические, не считаются таковыми. Признаки, в соответствии с которыми ту или иную структуру можно считать пространственной, не сформулированы. Во всяком случае ими не могут являться признаки, относящиеся к типу множества, элементом которого является данная структура. Например, любая метрическая структура на И, является точкой множества , и одновременно любая групповая структура на Я также является точкой того же множества.
В первом случае структура определяется метрикойр*. Я*Я'—»-Я во втором она определяется групповой операцией ф: Я х —>-Я (а-6 = Ф(а,-6)) . Не имея четко сформулированных признаков пространственных структур, автор считает, что отнесение рассматриваемых в этой работе структур к пространственным соответствует установившимся математическим традициям.
2. На протяжении многих лет автор изучал различные пространственные структуры, всегда стремясь заставить работать основные идеи в их наибольшей общности. Максимальная общность вводимых понятий и конструкций позволяет по ноеому взглянуть на известные теории, обозреть их с единой точки зрения и разработать соответствующий универсальный, а подчас и более удобный, аппарат исследования. В качестве примера можно рассмотреть общую теорию отношений смежности, основы которой были заложены в [42]
Отношения смежности являются естественным обобщением отно-
— JU ~
исходный набор покрытий не всегда может быть расширен до равномерной структуры, согласованной с в' . Возможность такой ситуации можно продемонстрировать следующим примером.
Пусть Х0 счетное дискретное топологическое пространство,
О' - отношение смежности на Х0 » лля которого любая система, состоящая из бесконечных множеств, является системой -смежности. Разобьем |Х0| на два бесконечных непересекающихся множества А и В и перенумеруем их точки без повторений, А='|А* 1. . ,
TJ Г О 1*
Ь=-XJ ^ . Рассмотрим два покрытия ^ и 4^ пространства Х0 ; состоит из конечных множеств { &.Ц , •• ' °4>р
р,ч,=0И,я н..., причем если p=fO и фФО , состоит из конечных множеств{а,д ?
причем
< мш { если nt=^0 . Докажем, что покрытия
и являются покрытиями третьего типа. Эти покрытия не являются покрытиями второго типа, так как их элементами являются только конечные множества. Рассмотрим теперь произвольное покрытие
1 пространства Х0 , для которого <г(Сб) имеет
место. По определению отношения смежности S' , каждое из множеств CG4>CGrü CG-la, бесконечно, поэтому можно в них выбрать по точке 0,,ц у . у СЦр 7 {>j^y4>j , так что все выбранные
точки различны и УПа,х{^9">,1р}<М'П{^г..1}р]. божество выбранных точек {(Ц •••5^] является элементом покрытия 61 ,
и в то же время оно не содержится ни в одном из элементов Сг^ G-a » поэтому покрытие ^ не вписано в покрытие
Аналогично доказывается, что б„ не вписано в покрытие i
А
ким образом покрытия 6,, и 4 не являются покрытиями первого типа.
Рассмотрим теперь покрытие б^лб^ пространства Х0 . Оно состоит из множеств