Грассмановы структуры на гладких многообразиях

• Автор: Денисова, Наталья Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с.

Глава 1. Алгебры Грассмапа
1. Поливекторы
2. Мультипликативные грассмановы модули
3. Поливекторные метрики
Глава 2. Алгебры Г расемана на гладком многообразии
1. Грассмановы расслоения
2. Грассмановы связности
Т 3. Кривизна
Глава 3. Аффинные пространства с поливекторными метриками
1. Поливекторная длина дуги
2. Формулы Френе для пространств с поливекторными
метриками
Глава 4. Поливекторные метрики на гладких многообразиях
1. Тензоры высших порядков
2. Грассмановы метрики, присоединенные к поверхности в п-мерном евклидовом пространстве
Заключение
Литература
1*-
В диссертации рассматриваются некоторые дифференциальногеометрические структуры, связанные с внешними алгебрами Грассмана. Актуальность темы:
Внешние алгебры Грассмана и связанные с ним алгебраические и дифференциально-геометрические структуры являются важным объектом изучения, как в самой геометрии, так и в ее многочисленных приложениях. Здесь, прежде всего, можно отметить внешнюю алгебру дифференциальных форм, естественно возникающую на гладких многообразиях и ставшую одним из инструментов исследования практически во всех разделах геометрии и топологии [1], [2], [3], [4]. С другой стороны, алгебры Грассмана векторных полей стали основным аппаратом в тех разделах геометрии и ее приложений к математической физики, в которых исследуются некоммутативные структуры [5], [6], [7] и т. д.
Особую актуальность внешние алгебры Грассмана приобретают в связи с исследованиями симметрий между коммутативными и некоммутативными переменными в квантовой теории поля. Такие симметрии в физике высоких энергий и в космологии получили название “суперсимметрий” [8], [9], [10] и т.д.
Проблемы, возникающие при изучении симметрий между коммутативными и некоммутативными переменными, как правило, связаны с мероопределением в некоммутативных алгебрах, а также с совместимостью некоммутативных структур с локальной (и глобальной) геометрией на гладких многообразиях. Эти проблемы в частных случаях пространственно-временных многообразий решаются путем присоединения дополнительных алгебраических структур к алгебре Грассмана внешних дифференциальных форм и поливекторных полей [11], [12], [13], [14], [15]. Однако,
использование спинорных, твисторных и Клиффордовых алгебр для описания различных антикоммутативных структур на гладких многообразиях не обладает той общностью, которая присуще внешним алгебрам Грассмана,
естественно реализующихся на расслоениях внешних форм и поли векторных полей на гладких многообразиях. Поэтому задача описания и исследования грассмановых структур на гладких многообразиях является актуальной как для самой геометрии, так и для ее многочисленных приложений в теоретической и математической физике.
Исторический обзор:
Антикоммутативные алгебры впервые возникают в работах Грассмана [16] и Гамильтона [17] в середине 19-го века, их появление было связано с решением ряда геометрических задач, актуальных для того времени. Работа Грассмана [16] отличалась большой абстракцией и тяжелым стилем изложения и не сразу получила признание математиков. Однако, уже в конце 19-ю века Куммер использовал идеи Грассмана для изучения некоторых вопросов интегрирования линейных дифференциальных форм [18]. Ему же (Куммеру) принадлежит понятие внешней дифференциальной формы и внешнего произведения дифференциальных форм.
Но настоящий триумф идеи Грассмана получают после целой серии работ Картана [1], который применил понятие внешнего произведения дифференциальных форм для исследования большого количества различных проблем дифференциальной геометрии. И после работ Картана внешние алгебры Грассмана прочно входят в арсенал геометрических исследований.
В кратком историческом обзоре невозможно описать все многообразие приложений внешних алгебр Грассмана к различным областям математики и математической физики, поэтому мы остановимся только на тех аспектах, которые относятся к тематике диссертации. Здесь, прежде всего, следует отметить общее мероопределение для площадей, объемов и гиперобъемов различных фигур, как в евклидовых, так и на римановых, и на псевдоримановых многообразиях. Из множества работ, относящихся к этому предмету, мы отметим основополагающие работы Пуанкаре [19] и его последователей [20], [21]. Среди отечественных математиков можно

где предполагается, что коэффициенты д"'(х) с некоторого к тождественно равны нулю.
Аналогичную запись имеют и ковариантные грассмановы тензорные поля и С общие грассмановы тензорные поля, при этом, базис будет образован не только из поливекторов, но из тензорных произведений поливекторов и внешних дифференциальных форм.
Кроме рассмотренных выше грассмановых расслоений, мы можем рассматривать расслоения, типовым слоем которых будут линейные подпространства в грассмановых тензорных алгебрах Т, Т„, Т В частности, нас будут Л интересовать расслоения, типовым слоем которых являются подпространства
Т2* сТ*. Напомним, что Т2 сТ' образовано грассмановыми дважды ковариантными тензорами, а потому произвольное сечение расслоения п ,л ,Ш п) можно в координатной области записать так
С = ТСаЛХУ(Х)®‘;/1(Х)’
где а,р-мультииндексы, которые принимают значения (/,/А), к= п, а еа(х) - базисные дифференциальные формы различных порядков. Очевидно, что расслоение (Т]М.п,7Г,Мп) является подрасслоением расслоения (Т*М„,1,М„).
Аналогично, можно рассмотреть расслоения (Т*М/(,;г,М(|), типовым слоем
которых являются подпространства Т* с: Т* ковариантных грассмановых
тензоров валентности р и расслоения (Т^М^л^М,,) контравариантных тензоров валентности с/. В координатной области сечения таких расслоений могут быть записаны в виде