Классификационные проблемы в теории групп автоморфизмов многообразий малой размерности.

• Автор: Малютин, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04, 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 455 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Группы гомеоморфизмов прямой и окружности

§ 1.1 О классификации действий групп на прямой и окружности

§ 1.2 Предварительные сведения

§1.3 Дистальные действия

§ 1.4 Несколько лемм

§ 1.5 Минимальные действия на прямой,

не являющиеся ни проксимальными, ни дистальными

§ 1.6 Минимальные недистальные действия на окружности

§1.7 Минимальные проксимальные действия на окружности
§ 1.8 Доказательства классификационных теорем
§ 1.9 Инварианты Пуанкаре
§ 1.10 Леммы о гомеоморфизмах и перемежающихся парах
2 Поверхности и их автоморфизмы. Общие сведения
§ 2.1 Вспомогательные определения и сведения
2.1-а Сведения из неевклидовой геометрии
2.1-Ь Гиперболические пространства по Громову
2.1-с Сведения из теории групп
2.1-д. Сведения из комбинаторной геометрии поверхностей
2.1-е Группы классов отображений
§ 2.2 Универсальные накрывающие и их компактификации
§2.3 Кривые и геодезические
§ 2.4 Геодезические ламинации и лучи
§ 2.5 Действие автоморфизмов на геодезических
§ 2.6 Классификация Нильсена-Тёрстона

3 Структуры на поверхностях с краем
§3.1 Техническая подготовка: описание основных пространств
§ 3.2 Ориентация и порядки
§ 3.3 Свойства геометрических порядков
§3.4 Пересечения и простота элементов
§ 3.5 Структура множества простых геодезических
§3.6 Типы петель и замкнутых кривых
§ 3.7 Одна гомологическая лемма
4 Представления групп классов отображений поверхностей
§4.1 Действия группы классов отображений на , Гм<
§4.2 Действие группы классов отображений на малой идеальной
окружности
§ 4.3 Некоторые дополнительные конструкции
§ 4.4 Действия отдельных гомеоморфизмов
§4.5 Закрученность гомеоморфизмов поверхности
5 Косы
§5.1 Группы кос
§ 5.2 Геометрические косы и представление зацеплений косами
§ 5.3 Преобразования кос
§5.4 -Г-инварианты
§5.5 О количестве классов сопряженности кос,
получаемых в результате однократных стабилизаций
и дестабилизаций одного класса сопряженности
§5.6 Косы и автоморфизмы диска
§5.7 Классификация Нильсена-Тёрстона для кос
6 Псевдохарактеры групп кос
§6.1 Сведения из теории псевдохарактеров
§ 6.2 Псевдохарактеры групп кос
§6.3 Трансфер псевдохарактеров
§ 6.4 Высвобождение нитей: доказательство теоремы
§6.5 Закрученность кос

7 Алгоритм распознавания
Марковской дестабилизируемости
§ 7.1 Критерий дестабилизируемости
§ 7.2 Дестабилизируемость кос периодического типа
§ 7.3 Отображения Зр
§ 7.4 Несколько вспомогательных лемм
§ 7.5 Еще одна вспомогательная лемма
§ 7.6 Фундаментальный алгоритм
§ 7.7 Специальные системы интервалов
для псевдоаносовских кос
§ 7.8 Флип-кривые и звенья косы
§ 7.9 Дестабилизируемость приводимых кос
§7.10 Алгоритм распознавания Марковской дестабилизируемости
8 Случайные блуждания в группе кос
§8.1 Введение
§ 8.2 Группа кос и нормальная форма Маркова-Ивановского.
Определения
§ 8.3 Случайные блуждания на группе. Определения
§ 8.4 Случайные блуждания на группе. Леммы
§ 8.5 Достаточный признак ц-проксимальности
§ 8.6 Свободная группа. Определения
§8.7 Свободная группа. Леммы
§8.8 Доказательство теоремы
§ 8.9 Теорема о выборочной сходимости
§8.10 Доказательство теоремы
§ 8.11 Стабильность нормальной формы Маркова-Ивановского
Литература

Теорема (7.1.10). Пусть (3 Е Вп. Тогда следующие условия равносильны:
1) класс /3 допускает полооюителъпую дестабилизацию;
и) у (3 найдется положительное решение;
ш) у /3 найдется положительное простое решение.
Предложение (7.1.9). У произвольной косы (3 Е Вп и множество положительных, и множество простых решений для (3 инвариантны под действием элементов централизатора косы (3. В частности, указанные множества инвариантны под действием входящих в этот централизатор кос (3 и А2п.
Лемма (7.1.6). Суш,ествует алгоритм, который по заданным косе (3 Е Вп и элементу V Е Р0п определяет, является ли и положительным решением для (3.
В §7.2 изучается вопрос о дестабилизируемое™ классов кос периодического типа. Критерий дестабилизируемое™ из §7.1 и признаки недеста-билизируемости из §6.5 дают следующую теорему.
Теорема (7.2.1). Пусть коса (3 Е Вп относится к периодическому типу. Тогда класс (3 допускает положительную дестабилизацию в том и только в том случае, когда
0 < ехр(/3) < п2 — п.
В §§7.3-7.5 доказывается ряд вспомогательных технических утверждений, вытекающих из результатов, полученных в предыдущих главах, и необходимых для построения алгоритмической процедуры из §7.6 и доказательства ее свойств.
В §7.6 конструируется алгоритмическая процедура (фундаментальный алгоритм), позволяющая для заданной косы (3 Е Вп за конечное число шагов проверять имеющие определенный (зависящий от (3) вид бесконечные подмножества элементов группы Рдп на наличие решений для [3. Указанные подмножества выпуклы по отношению к геометрическому порядку У на и называются (3-допустимыми интервалами.