Алгебро-функциональная теория разветвленных накрытий и n-значных топологических групп

• Автор: Гугнин, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Теория градуированных n-гомоморфизмов Фробениуса

1.1. Градуированная рекурсия Фробениуса

1.1. Градуированные п-гомоморфизмы Фробениуса

Глава 2. п-гомоморфизмы коммутативных С'*-алгебр

2.1. Результаты В.М.Бухштабсра и Э.Г.Риса о непрерывных /г.-гомоморфизмах

2.2. Теорема о разложимости п-гомоморфизмов специального типа

2.3. Теорема о непрерывности n-гомоморфизмов. Обобщенное преобразование И.М.Гельфанда

Глава 3. Приложения к теории разветвленных накрытий

3.1. Определение и основные свойства п-трансфера

3.2. Разветвленные накрытия по Дольду-Смиту
3.3. Случай многообразий
Глава 4. Приложения к теории та-значных топологических групп
4.1. n-значные топологические группы и n-алгебры Хопфа
4.2. Случай компактных римановых поверхностей
Список литературы

Введение
В диссертации развита алгебраическая теория градуированных п-гомоморфизмов Фробениуса, и в качестве приложений получены результаты о разветвленных накрытиях и п-значных топологических группах. Разветвленные накрытия представляют собой важный класс отображений пространств и, в первую очередь, многообразий. Такие отображения естественно возникают в топологии, комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории особенностей.
В работах Фробениуса [24],[25| 1896 года были введены высшие
характеры конечных групп при помощи специальной рекурсии. В работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [5],[17] было введено понятие п-гомоморфизмов алгебр и показано, что они полностью определяются рекурсией, аналогичной рекурсии Фробениуса; поэтому эти отображения были названы и-гомоморфизмами Фробениуса. Теория была развита в [5],[6],[17],[19],[20].
Введение п-гомоморфизмов алгебр было мотивировано теорией тг-значных топологических групп. В классических работах Хопфа было показано, что топологическое пространство X, обладающее умножением с единицей, имеет в своем кольце когомологий специальную алгебраическую структуру, задаваемую кольцевым гомоморфизмом А : Н*(Х) —> Н*(Х) ® Н*(Х). Это положило начало знаменитой теперь теории алгебр Хопфа. Например, отсутствие структуры алгебры Хопфа в когомологиях пространства X является препятствием к введению на нем структуры топологической группы.
Понятие и-значных формальных групп было введено в работе
В.М.Бухштабера и С.П.Новикова [4] в 1971 году. Затем В.М.Бухштабером была развита теория п-зпачных формальных групп и ее топологических приложений. В его работе [3] 1990 года была открыта важная структура 2-значной алгебраической группы на сфере 52. Это положило начало

топологической теории п-значных групп, которая была развита в работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [5],[17],[18], а также в работах
А.М.Вершика, А.П.Веселова, А.А.Гайфуллина, С.А.Евдокимова, Т.Е.Панова, И.Н.Пономаренко, А.Н.Холодова и П.В.Ягодовского (см. подробный обзор па эту тему [16]). Теория п-значных групп, их представлений и действий, нашла приложения в теории динамических систем [21],[23].
В работе [17] было показано, что, если связное топологическое
пространство X обладает структурой п-значной топологической группы и имеет нулевые нечетномерные рациональные когомологии, НоМ(Х] <0>) = 0, то в его алгебре четномерных когомологий Неуеп(Х;<0)) существует специальная структура, названная структурой п-алгебры Хопфа. Эта структура задается гомоморфизмом Д : Неуеп(Х-,<0) -* ЯеиеДХ;(0) 0 Неуеп(Х<$). Таким образом, задача о существовании структуры п-значной топологической группы на топологических пространствах явилась важным стимулом развития теории п-гомоморфизмов Фробениуса и п-алгебр Хопфа.
В работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [20] было показано, что отображение топологических пространств / : X —> У, являющееся п-листным
разветвленным накрытием (в смысле Дольда-Смита), индуцирует та-
гомоморфизм алгебр непрерывных функций /* : С(Х) —> С (У) специального типа (п-трансфер). Таким образом, задача о существовании разветвленных накрытий / : X —> У данной кратности между данными пространствами X и У явилась еще одним стимулом развития теории п-гомоморфизмов.
В классической работе А.Н.Колмогорова-И.М.Гельфанда [9] 1939 года было показано, что два компактных хаусдорфовых пространства X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует алгебраический изоморфизм их колец непрерывных функций. Впоследствии в работах И.М.Гельфанда была развита теория С*-алгсбр, в основу которой было положено преобразование, получившее его имя. Это преобразование в частном случае С*-алгебр является изометрическим изоморфизмом произвольной коммутативной (Д-алгебры А с единицей на алгебру С(Г2(А)) всех
непрерывных комплекснозначных функций на спектре П(А) алгебры А. В работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [19] было показано, что не только само компактное хаусдорфово пространство X восстанавливается по алгебре непрерывных функций на нем, но и его п-я симметрическая степень Зут"Х = Xті/вп, для любого та. А именно, было доказано, что

(1) / есть гомоморфизм алгебр;
(2) /(аАоу = /(аА)/(а) УА £ Л, V/;, € М;
(3) /КаА) = Де)/(аА) УА € Л, У// € М.
Доказательство. Понятно, что из условия (1) следуют условия (2) и (3). Докажем импликацию (2) (1) (импликация (3) =Ф- (1) доказывается
аналогично). Фиксируем произвольные А 6 Л и х £ А*. Для элемента х существует разложение х — еа! +..+ема! для некоторых ел
/(аАж) = Далща' + ... + аА£/Уа)(Л.)
= /(аЛ£1а) + ... + /(аА£лго)
= (-1)1111/) + . + (_1)ММ/(е„аАа)
= (-1)1“*1!е>1£1/(оА)/«1) + ... + (-1)1Н£-1£я/(аА)/(а)
= /(аА)е1/(а) + ... + /(аА)едг/(о)
= + -.. + едга) = /(оА)/(ж).
Таким образом, мы доказали, что /(аАх) = /(аА)/(ж), УА £ Л, Уж £ Л*. Далее,
/(аА1аА2... аА„) = /(оА1)/(оАг
= /(ал,)/(а,2) /(оад,) У Аь ... Адг £ Л.
Из доказанного равенства и того, что отображение / А* —> В* есть /Г-линейное степени ноль и /(1) = 1, по стандартным соображениям следует, что / является гомоморфизмом алгебр. Лемма полностью доказана. □
Рассмотрим в алгебре б'"Л* ее коммутант [5ПЛ*, 5" Л*], т.е. двусторонний однородный идеал, натянутый на все коммутаторы вида [а, Ь] = аЬ — (_1)Н1Ь1 Ьа,Уа,Ь £ Б71 А*. Понятно, что факторалгебра по коммутанту 5”Л*/[5ПЛ*, 5"Л*] коммутативна. Рассмотрим следующее отображение:
Хл : Л* -> Д"Л7[5ПЛ*, 5й Л*], хл(а) = (а®1®...®1 + ... + 1®...®1®о),
где через (Ь) £ ЗпА*/[ЗпА*, 5”Л*] обозначен класс элемента Ь £ 5”Л* в факторалгебре по коммутанту ЗпА*/[в4А*, 5"Л*].
Очевидно, что отображение хл является /?*-линейиым степени ноль.