Геометрия орисфер пространства Лобачевского

• Автор: Костин, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 115 с. : ил

Оглавленив
Введение
Глава I. Семейства орисфер собственной и идеальной областей пространства Лобачевского
§ 1. Семейства ориентированных гиперплоскостей пространства Еп+1 и семейства гиперорисфер пространства Ли+1
§ 2. Семейства ориентированных гиперплоскостей пространства 1Еп+1 и семейства гиперорисфер пространства *А„+1

§ 3. О модели пространства Лобачевского в семействе сфер

евклидова пространства

Глава И. Преобразования Лагерра й их аналоги

§ 4. Преобразования Лагерра в Е3 и преобразования на СР1

§ 5. Аналоги преобразований Лагерра в пространстве Лобачевского

§6. О преобразованиях Лагерра на псевдоевклидовой
плоскости
Глава III. Поверхности вращения постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве
§ 7. Поверхности вращения трактрисы в псевдоевклидовом
пространстве, когда база и касательная к трактрисе является прямыми одного типа
§ 8. Поверхности вращения постоянной кривизны в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах и их взаимосвязь .. 89 Литература

Введение
Пространства постоянной кривизны - наиболее простые из неевклидовых пространств. Интерес к ним объясняется тем, что они имеют приложения и в математике, и в теоретической физике. Как и любая другая область математики, они всегда будут служить источником различных задач.
Геометрии т - орисфер в неевклидовых пространствах посвящена работа М.И. Горбуновой [5] (см. также [24]). Движения в псевдоевклидовых пространствах изучались в частности, в различных статьях В,Г. Коппа, из которых в данной работе использованы [11] и [12]. С приложением этих преобразований можно ознакомиться, например, по книге [14]. Теория нормализации А.П. Нордена изложена в [18]. Необходимые сведения из теории касательных расслоений можно найти в [6]. Геометрия Лагерра подробно изложена И.М, Яг-ломом в [33] (см. также [9]). Теории дробно - линейных преобразований посвящено много работ Б.А. Розенфельда, З.А. Скопеца, И.М. Яг-лома. Аналоги преобразований Лагерра, действующие в многообразии прямых плоскости Лобачевского, рассмотрены в совместной работе [26] двух последних авторов. А.П. Широков предложил рассматривать аналоги преобразований Лагерра, действующие в многообразиях орициклов плоскости Лобачевского и орисфер пространства Лобачевского [28], [30], [31]. Аналоги преобразований Лагерра в многообразии орициклов плоскости Л2 изучены в работе М.А. Микенберга [15]. Аналоги преобразований Лагерра в идеальной области пространства Лобачевского введены в работе К.П. Шустовой [35]. Связь геометрии касательных расслоений комплексной проективной прямой с геометрией Лобачевского изучалась в работе H.H. Переломовой [20].
Классические результаты по геометрии Лобачевского приведены в сборнике [19]. Вопросам вложения поверхностей с определен-

ной метрикой в трехмерное псевдоевклидово пространство посвящена работа Д.Д. Соколова [27]. Интерпретации пространств постоянной кривизны изложены в книгах Б.А. Розенфельда [24],Ф. Клейна [10], Э. Картана [8], П.А. Широкова [32] и многих других авторов. Свойства псевдоевклидовой инверсии изложены в [25].
Приступим к общей характеристике работы.
Цель работы
Установить взаимосвязь между геометриями семейств орисфер собственной и идеальной областей пространства Лобачевского с одной стороны, и геометриями семейств ориентированных плоскостей евклидова и псевдоевклидова пространств - с другой. Дать истолкование аналогов преобразований Лагерра, действующих в многообразии орисфер пространства Лобачевского. Дать истолкование некоторых однопараметрических подгрупп группы Лагерра на псевдоевклидовой плоскости и изучить поверхности вращения соответствующих траекторий в псевдоевклидовом пространстве.
Методы исследования
Используются методы классической дифференциальной геометрии, теории расслоенных пространств, метод нормализации Нордена, методы теории гладких многообразий и групп Ли, методы теории накрытий.
Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту
Выделим следующие основные результаты.
1. Установлены взаимосвязи между геометриями семейств ориентированных гиперплоскостей евклидова пространства, огибающих ориентированные гиперсферы, и геометриями семейств гиперорисфер пространства Лобачевского, огибающих элементарные поверхности постоянной кривизны этого пространства.

Разные способы касания можно связать с ориентацией цикла в Л„+/. Поэтому для глобализации отображения многообразие циклов пространства En+i будем отображать на гиперповерхности постоянной кривизны двух экземпляров пространства Лобачевского Лп Ч с общим абсолютом, причем среди циклов пространства Лобачевского есть ориентированные и неориентированные. Сам общий абсолют двух пространств A„+j также является циклом, соответствующим началу координат пространства Л„+/, рассматриваемому как цикл (связка гиперплоскостей). Семейство (1.40) гиперорисфер (1.31) имеет ту же огибающую, что и семейство со = Ар1 +2ра + В, если
в формулах (132) при этом
Vo = Va Д = #0 и правые части в выражении для радиуса имеют разные знаки. Соответствующие > им в пространстве Епг] циклы (а',an+R) и (а1,...,ап+',Л) согласно (1.37), таковы, что

а'= ^ ; / = ,п +1; R =-----------—,----- . Это означает, что
R1 -È («Т л2-Х(«’)
/=1 j=l
данные циклы соответствуют друг другу при инверсии второго рода в гиперсфере (1.41). Таким образом, получаем
Предложение 1.15. Пру переориентации цикла в пространстве Лобачевского соответствующий цикл в пространстве En+i подвергается инверсии второго рода в гиперсфере (1.43).
Как было сказано выше, преобразования Лагерра в пространстве