Рационально эллиптические пространства и двойные частные групп Ли

• Автор: Павлов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 52 с.

1 Оценки чисел Бетти рационально эллиптических

пространств

1.1 Минимальные модели

т 1.2 Рационально эллиптические пространства

1.3 Оценки чисел Бетти

1.4 Рационально эллиптические многообразия

малых размерностей

2 Пятимерные двойные частные групп Ли

2.1 Основные определения

2.2 Необходимые классификационные результаты

2.3 Случай
2.4 Случай 52 х

В диссертации рассматриваются верхние оценки на числа Бетти рационально эллиптических пространств и при их помощи дается классификация пятимерных двойных частных групп Ли.
Рациональная гомотопическая теория возникла в 1960-х гг., когда Сулливан [7] построил для алгебраической операции локализации модулей в применении к гомотопическим и гомологическим группам топологическую реализацию. Оказалось, что для каждого односвязного (более общо, нильпотентного) пространства X существует определенное однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности пространство Хд>, называемое его локализацией, такое, что 7г*(Хд) = п(Х) ®<0>, Н*(Х§,) = Я*(Х;<0>). Пространства X и У называются рационально-гомотопически эквивалентными, если их локализации Х^: и гомотопически эквивалентны. Аналогичным образом всякому непрерывному отображению / топологических пространств соответствует отображение /<2 локализаций этих пространств, и два отображения /и д называются рационально гомотопными, если гомотопны /щ и Рациональная теория гомотопий жертвует информацией о кручении в пользу вычислимости. Так, например, гомотопические группы сфер 7Г/;(5п) полностью не известны, но известно, что они нетривиальны для бесконечно многих к, в то время как рациональные гомотопические группы 7^(5")® <9 известны и тривиальны во всех размерностях, кроме размерности п и, в случае четного п, размерности 2п — 1.
Квиллен [28] показал, что теория рационального гомотопического типа может быть полностью алгебраизована. Он предложил вариант такой алгебраизации, построив функтор из категории рациональногомотопических типов пространств в категорию дифференциальных градуированных алгебр Ли, и доказав, что этот функтор устанавливает эквивалентность категорий.
Другим, более известным, вариантом алгебраизации является теория минимальной модели Сулливана ([17], [30], [3], [24], [22]). Пространство X называется нильпотентным, если фундаментальная группа яДХ) нильпотентна, и ее естественное действие на старших гомотопических группах 7г„(Х) нильпотентно. Каждому нильпотентному СУ-комплексу X с гомологиями конечного типа в теории Сулливана соответствует свободно порожденная дифференциальная градуированная алгебра Мх над 0> специального вида, которая называется минимальной моделью X. Минимальная модель определяется по пространству однозначно с точностью до изоморфизма. Когомологии алгебры Мх совпадают с сингулярными когомологиями пространства X с рациональными коэффициентами, а образующие в односвязном случае двойственны образующим в пространстве тг*(Х) ® О. Условие минимальности эквивалентно существованию последовательности так называемых элементарных расширений алгебр
О = М(0) С М( 1) С . . • , = Мхг>0
Эта последовательность в точности двойственна рациональной башне Постникова пространства. Таким образом, минимальная модель Мх
11] Berard Bergery L. Les variétés Riemanniennes homogènes simplement connexes de dimension impair à courbure strictement positive II J. Pure Math. Appl. 1976. Vol. 55. P. 47-68.
12] Bott R. An application of the Morse Theory to the topology of Lie groups II Bull. Soc. Math. France. 1956. Vol. 84. P. 251-281.
13] Cheeger J. Some examples of manifolds of nonnegative curvature // J. Diff. Geom. 1973. Vol. 8. No. 3. P. 623-628.
14] Eschenburg J.-H. New examples of manifolds with strictly positive curvature I/ Invent. Math. 1982. Vol. 66. P. 469-480.
15] Eschenburg J.-H. Inhomogeneous spaces of positive curvature // Differential Geom. Appl. 1992. V. 2. No. 2. P. 123-132.
16] Félix Y., Halperin S., Thomas J.-C. The homotopy Lie algebra for finite complexes // Publ. de l’IHÉS. 1977. Vol. 47. P. 269-331.
17] Félix Y., Halperin S., Thomas J.-C. Rational homotopy theory. New York: Springer, 2001.
18] Freedman M. H. The topology of four-dimensional manifolds. // J. Diff. Geom. 1982. Vol. 17. P. 357-454.
19] Friedlander J.B., Halperin S. An arithmetic characterization of the rational homotopy groups of certain spaces // Invent. Math. 1979. Vol. 53. P. 117-133.
20] Gromoll D., Meyer W. An exotic sphere with nonnegative sectional curvature II Ann. Math. 1974. Vol. 100. P. 401-406.
21] Halperin S. Finiteness in the minimal models of Sullivan // Trans. AMS. 1979. Vol. 230. P. 173-199.