Геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий

• Автор: Али Абдул Маджид Шихаб
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Приближенно келеровы сфукгуры
1.1. Поч I и эрмитовы с грукт уры
1.2. Сфуктурные уравнения почт эрмиювой Сфукфры
1.3. Приближенно келеровы многообразия
Глава 2. Тензор конгармонической кривизны приближенно
келеровых многообразий
Глава 3. К-постоянство типа ЛТСмпогообразия
Глава 4. Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной конгармонической кривизны
Глава 5 Ковариан I ный дифференциал тензора кож армонической кривизны приближенно келерова многообразия Список литературы
Введение
Понятие Л"-пространства, т.е. почти эрмитова многообразия, фундаментальная форма которого является формой Киллинга, является одним из наиболее интересных обобщений понятия келерова многообразия. Оно сравнительно недавно вошло в сферу геометрических исследований и довольно быстро привлекло внимание ряда ведущих геометров, чем объясняется неустоявшаяся терминология: наряду с термином “/б-пространство”, используемым в работах С.'Гатибаны, И.Вагаиабэ, К.Такамацу, И.Саго и др., используются синонимы: “почти (nearly) келерово многообразие” (А.Грей, Дж.Вольф и др.), а также “почти татибаново пространство” (К.Яно, С.Ямагуши, М.Мацумото и др.). Следует отметить также, что термины “nearly Kahler manifold' и ''’almost Kahler manifold' несмотря на идентичность русского перевода, обозначают различные геометрические объекты [1].
Интерес к понятию К-пространства пробудился после того, как в 1955 году А.Фрелихер доказал в [2| существование канонической почти эрмитовой структуры на шестимерной сфере о, вложенной в алгебру октав О в качестве вполне омбилического подмногообразия многообразия /?s=0, а Т.Фуками и С.Исихара в [3] доказали, что фундаментальная форма этой структуры является формой Киллинга (т.е. ее ковариаитный дифференциал является дифференциальной формой), что, очевидно, равносильно приближенной келеровости этой структуры. В 1959 году вышла работа С.Татибаны [4], в которой /-пространство

вьісіуиасі уже как самоеюятельный геомсірический обьекі. Среди более поздних работ, посвященных исследованию /-пространств следует выделить работы А.Грея, в особенности, [5], [6] и [7] написанную совмссшо с Дж Вольфом, в коюрых получено большое число относящихся к )той области результатов и поставлен ряд задач
Одним из факюров, обуславливающих иніерес к /б-прострапсі вам, являє іся их близосіь к келеровым многообразиям, богатство геометрических свойств которых хорошо известно. Возникает есгесівенньїй вопрос, какие из эшх свойсів допускаю! зксіраполяцию на обласіь А'-просірансів, причем оівет на э і о і вопрос іребуег более глубокого понимания природы этих свойств. Один из способов подхода к этму вопросу сосюяі в нахождении определенных юждесів, коюрым уцовлеїворясі оиераюр кривизны А'-нросірансіва и коюрыс аналогичны соответствует тождествам, известным для келеровых многообразий. Это позволяет перенести доказательства ряда свойсів келеровых М1Ю1 ообразий па случай А'-просірансів с пекоюрыми изменениями. Такой способ со всеми его достоинствами и недостатками был широко использован А.Греем в [5] и рядом других авюров.
Другой і ип сюящих в э і ой области задач состоиі в исследовании свойств априорно определенных видов К-пространств (например, конформно-плоских /б-пространсі в, Допросірансів постоянной голоморфной секционной кривизны и т п ) и, как завершающая фаза такого исследования, классификации /б-просгранств этих видов. Задачи іакою іипа рассмаїриваются, например, в [5ф [6], [8], и др.

сформированный в ряде его работ ([30], [5], [9] и др.), в соответствии с которым ключом к пониманию дифференциально-геометрических свойств келеровых многообразий являются тождества, которым удовлетворяет их тензор римановой кривизны:
/?, :{/?(Л",У)гЛ)-(Я{Х,У)Л,ЛУ);
/ф :(/?(Л К)2,Ж) = У)Х,Г) + (1фХ, У).Л,1У) + (М(./Х,У)г,Ж);
Я3:(1?(Х,У)г,1Г) = (к(М,,/У)Л,Ж).
АН-структуры, тензор И которых удовлетворяет тождеству /?„ называются структурами класса /?,. Если бсМЯ- какой-либо подкласс Л/-/-структур, то принято обозначение 6пИ =&, ; / = 1, 2, 3 [20].
Хорошо известно, что К а /ф с /?2 с: /ф [5]. Ввиду этого естественно ожидать, что среди ЛЯ-миогообразий по дифференциально-геометрическим и топологическим свойствам наиболее близки к келеровым многообразиям многообразия класса /ф, затем многообразия класса /ф и, наконец, многообразия класса /ф. Многообразия класса /ф рассматривали Баррос и Рамирес [31], Саваки и Секигава под названием Г-пространств [32], а также Рицца под названием паракелеровых многообразий [33]. Многообразия класса /ф , или многообразия с ./-инвариантным тензором кривизны, называются также // К -м и ого об раз ним г I. Наряду с А. Греем их рассматривали Ванхекке [34], [35], Навейра, Хервелла [36] и другие авторы. Многообразия класса /ф, пока не имеющие специального наименования, были введены в рассмотрение А.Греем в связи с изучением приближенно келеровых многообразий ввиду того, что МКа /ф , и рассматривались Греем и Ванхекке [37], Уотсоном и Ванхекке [38], и другими авторами.
Пусть (М, У, £) - ХЯ-многообразие размерности 2п, К - тензор конгармонической кривизны.
Определение 2. Многообразие (Л/,/,,§) называется многообразием класса: