Геометрия многообразия направлений физического пространства

• Автор: Иванов, Денис Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 88 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ МНОГООБРАЗИЯ НАПРАВЛЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА ВО ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЕ

1.1. Топологическая структура

1.1.1. Многообразие направлений физического пространства................................ . . .

1.1.2. Модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского (в шаре)

-1.1.3. Функции пространственной и временной ориентации тетрад Минковского

1.1.4. Преобразования Лоренца. Тетрады Минковского.

1.1.5. Топологическая структура многообразия

направлений физического пространства

1.2. Некоторые сведения из внешней алгебры
1.2.1. Евклидова структура на внешней алгебре над четырехмерным пространством Минковского
1.2.2. Псевдоевклидово скалярное произведение на внешней алгебре
1.2.3. Оператор Ходжа в пространстве бивекторов
1.2.4. Специальное представление бивектора
1.2.5. Комплексная структура в пространстве бивекторов
1.3. Геометрия вложения многообразия С в пространство бивекторов
1.3.1. Модель многообразия С'в пространстве бивекторов
1.3.2. Специальное представление пары є 7%}' . . . .
1.3.3. Геодезические кривые в С
1.3.4. Комплексная структура на
ГЛАВА 2. ВНУТРЕНЯЯ И ВНЕШНЯЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ <5*.

2.1. Преобразование кривизны и вторая основная форма.
2.1.1. Вторая основная форма вложения многообразия 0'сЛг
2.1.2. Секционная кривизна многообразия С
2.1.3. Преобразование кривизны .
2.1.4. Кривизна Риччи многообразия С?
2.2. Симметрическая структура
2.2.1. С?’ как симметрическое пространство
2.2.2. Примеры трансвекций и их связь с
преобразованием Лоренца
2. .3.. Поля Якоби в О
2.3.1. Явное представление полей Якоби
2.3.2. Сопряженные и фокальные точки многообразия С?
ГЛАВА 3. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
МНОГООБРАЗИЯ 3.1. Двумерные вполне геодезические подмногообразия.
3.1.1. Необходимое условие вполне геодезичности
3.1.2. Сечение многообразия О1 линейными подпространствами
3.1.3. Классификация простых площадок
3.1.4. Вполне геодезические сфера, плоскость, однополостный и двуполостный гиперболоиды
3.1.5. Плоский вполне геодезический цилиндр
3.1.6. Кривизна вполне геодезических подмногообразий.

3.1'. 7. Классификационная теорема...'
3.1.8. Вполне геодезические подмногообразия в модели Кэли
3.2. Трехмерные вполне геодезические подмногообразия.
3.2.1. Ортогональное дополнение гиперплоскости
3 - ' .

3.2.2. Теорема об отсутствии трехмерных вполне геодезических подмногообразий
3.3. О полноте многообразия
3.3.1. Факт из геометрии Лобачевского
3.3.2. О полноте многообразия С
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
/Ч - ■' • ‘ ' .
ЛИТЕРАТУРА . . .

3. Л(Х,гУ)=гА(Х,У) (1.2.27)
4. Л(Х,У) - Лоренц-инвариантна. (1.2.28) Доказательство:
1. Следует из симметричности скалярного произведения и самосопряженности оператора Ходжа.
2. Непосредственно следует из линейности вещественного скалярного произведения и оператора Ходжа.
3. Заметим, что
А(Х, оУ) =< X, > +г < X, а *7 >= а(< X, 7 > +/ < Х,*У >) = аЛ(Х,7) , для любого вещественного числа аеЯ и
А(Х,1У)=<Х,*У >+1 <Х,**У >=<Х,*У >-1- <Х,У >=-сА(Х,У) .
Пусть г=а + 1Ьг ТОгда
А(Х, гУ) = А(Х,аУ) + Л(Х,Ь(ГУ)) = а.4(Х ,У) + ЪА(Х ,1У) = ЩХ,У) .
4. Для произвольного преобразования Лоренца Ь пространства Минковского (необязательно изохронного)
А(Ь(Х), Щ)) =< Ь(Х), ЦУ) > +1 < их)*щ) >=< ЦХ),Ь(У) > +/ < Ь(Х),и*У) >= =<Х,У> -н < Х,*У >= А(Х, У) . Я
Комплексно линейные преобразования пространства С3(М0), сохраняющие форму Л(Х,У)г называют, по аналогии с вещественным случаем, комплексно ортогональными, а образуемая ими группа обозначается через 0(3,С) ( ее не следует смешивать с С/(3)). Итак, введение комплексной структуры в пространстве А2(М0) определяет гомоморфизм группы Лоренца А в 0(3,С).
Определение: комплексным скалярным квадратом бивектора назовем комплексное число
и(Х) = А<Х,Х> . (1.2.29)
Из (1.2.15) и (1.2.29) следует