Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли

• Автор: Воронцов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Структура орбит

1.1 Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы

1.2 Симплектическая структура

1.3 Случай полупрямой суммы д +ая дс

1.4 Случай коммутативного идеала

1.5 Симплектическая структура для случая коммутативного идеала

1.6 Случай идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга

1.7 Симплектическая структура для случая идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга

1.8 Теорема Садэтова и построение полных коммутативных наборов полиномов

2 Инварианты и орбиты для полупрямых сумм
2.1 Группы зр(п) -К^М2" и 5о(п) М”(общая конструкция)
2.2 Инварианты и орбиты коприсоединенного представления
2.2.1 Инварианты для алгебры Ли 5о(гс) 4уь (М")*

ОГЛАВЛЕНИЕ З
2.2.2 Орбиты для алгебры Ли so{n) + К”
2.2.3 Инварианты для алгебры Ли spin) +vk (R2n)h
2.2.4 Орбиты для алгебры Ли sp(n) +v М2та
2.2.5 Инварианты для алгебры sl{n) +<рк (M")fc
2.2.6 Орбиты для алгебры sl{n) +vk (Rn)k
3 Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли
3.1 Теорема Кронекера—Жордана. Кронекеровы индексы алгебры

3.2 Критерий Болсинова и теорема Костанта
3.3 Теорема Винберга
3.4 Оценка степеней инвариантов коприсоединенного представления
Список литературы
Введение
Данная диссертация посвящена описанию орбит и инвариантов коприсоеди-ненного действия групп Ли. Этот вопрос имеет приложение в теории вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Орбиты коприсоединен-ного действия групп Ли являются естественным примером симплектических многообразий. Задание на 2п-мерной орбите коприсоединенного действия группы Ли набора функций в инволюции, содержащего п независимых функций, эквивалентно заданию на этой орбите вполне интегрируемой гамильтоновой системы, в качестве гамильтониана можно взять любую из функций. В частности, многие классические динамические системы можно рассматривать как системы на орбитах коприсоединенного действия групп Ли.
Пусть (? — конечномерная группа Ли (комплексная или вещественная), д — ее алгебра Ли, д* — пространство, двойственное к алгебре Ли. Определим действие группы на себе сопряжением, вд: С —» С7, задаваемое формулой
*9(Л) =дкд~1.
Дифференциал этого действия в единице е группы С определяет действие С на касательном пространстве к группе в этой точке, то есть на алгебре Ли д. Это действие называется присоединенным и обозначается Асф(£). д Е С, £ £ д.
ГЛАВА 1. СТРУКТУРА ОРБИТ
Аналогичное разложение можно было бы проделать задать локально, но и в этом случае кроме двух слагаемых в теореме 1.5 добавится еще одно, возникающее из-за того, что идеал не выделяется в виде полупрямого слагаемого.
В отличие от полупрямой суммы база расслоения Е/ не вкладывается канонически в д. Зафиксируем для удобства подпространство г, трансверсальное I. Теперь можно считать, что I* отождествлено с г1. В дальнейшем мы не будем это специально оговаривать.
Для пары векторов вида у — асі^ ^(ж, а) иг — асі^ ^ж, а) значение формы Кириллова будет равно
м(у,г) = <([£,ц]і,0(^-0(^ + М2),(я,а)) =
(К.»?]і,я> + (Ф(£)п -ф(р)и,а) + (К,77]2),о>. (1.3)
Здесь [£, ту]! — проекция коммутатора [£, ту] на г, а [£, ту]г — проекция коммутатора на I. Первые два слагаемых соответствуют форме на М и форме на ко-касательном расслоении (если их соответствующим образом определить локально), а третье слагаемое дает новую по сравнению с теоремой 1.5 добавку.
Нам будут важны еще два факта о симплектической структуре на орбите коприсоединенного действия. Первое утверждение описывает симплектиче-скую структуру в слое.
Теорема 1.10. Пусть точка а є I* фиксирована. Рассмотрим слой Еа на этой точкой. Рассмотрим естественную проекциюр: Еа —> Аппф(а)*. Тогда ограничение формы Кириллова на Еа ш = от|во связано с формой Кириллова шапп иа орбите в Аппф(а)* соотношением од = р*(шдпп).