Классификация зацеплений и ее применения

• Автор: Скопенков, Михаил Борисович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление
1 Введение и основные результаты
1.1 Введение
1.2 Многомерные зацепления и сингулярные зацепления
1.3 Классификация оснащенных зацеплений в многообразиях
1.4 Теория Рамсея для зацеплений и вложимость произведений графов
1.5 Препятствие Ван Кампена и аппроксимируемость путей вложениями
1.6 Структура работы
1.7 Благодарности
1.8 Соглашения и обозначения
2 Классификация зацеплений и сингулярных зацеплений
2.1 Классификация сингулярных зацеплений
2.2 Классификация зацеплений
3 Классификация оснащенных зацеплений в многообразиях
3.1 Оснащенные зацепления в многообразиях размерности не менее
3.2 Оснащенные зацепления в многообразиях размерности
4 Рамсеевская теория зацеплений и вложимость произведений
графов

4.1 Доказательство для случая (1) и некоторые эвристические рассмотрения
4.2 Доказательство невложимости в случае (2)
5 Препятствие Ван Кампена и аппроксимируемость вложениями
5.1 Доказательство критерия аппроксимируемости вложениями
5.2 Препятствие Ван Кампена
Литература

Глава
Введение и основные результаты
1.1 Введение
Классической проблемой топологии является проблема классификации вложений данного пространства в данное многообразие (актуальные обзоры по данной теме можно найти в статьях [57, 74]). Эта проблема уже сыграла выдающуюся роль в развитии топологии. Для решения этой проблемы (а также близкой проблемы о существовании вложений) были созданы различные методы такими классиками как Дж. Александер, П.С. Александров, Б. Ван Кампен, К. Куратовский, С. Маклейн, Л.С. Понтрягин, Р. Том, X. Уитни, X. Хопф, и другими. В настоящее время исследование этой проблемы переживает новый расцвет.
Классическими результатами о вложениях являются теоремы классификации (в коразмерности по крайней мере 3) узлов, зацеплений и вложений высокосвязных многообразий (Р. Пенроуз, Дж.Г.К. Уайтхед, К. Зиман, М. Ирвин, Дж. Левин, С.П. Новиков, Дж. Хадсон, А. Хефлигер, М. Хирш). Проблема классификации вложений считается очень трудной, поскольку других случаев, для которых было бы получено полное явное описание (непустого) множества вложений замкнутого многообразия с точностью до изотопии, до последнего времени (например, [75]) не было известно, несмотря на на наличие интересных подходов к данной проблеме (Левин-Новиков-Уолл, Гудвилли-Уайсс).

построен в статье [28, Th. 10.1]: он отображает гомотопический класс отображения ф : Sp —* S1"1-1?-1 в зацепление / : Sv LJ Sq Dq+1 х Sm~q~l С S'"1, заданное формулой f(x U у) = (|ж; фт) U (у; с), где точка с е gm-g-i фикси_ рована. □

Упростим группу DM . Пусть DMp q — группа собственных сингулярных зацеплений / : Dp U Dq —> Dm, ограничение которых / : —> 8D'" являет-
ся незаузленным вложением (с точностью до сингулярной конкордантности, ограничение которой на 8DP х I — конкордантность).

Лемма 2.2.3. Если p,q < т — 3, то естественное отображение DMpq —> DM™ биективно при 2p + 2q < Зт — 5 гг сюръективно при 2p + 2q < 3m — 4.
Доказательство. Сюръективностъ. Возьмем сингулярное зацепление общего положения / е DM™q. Пара (Dm — fDp, dDm — fdDp) является (2m — 2р — 3)-связной, поскольку Hi(Dm — fDp, dDm — fdDp) = Dp) = 0 при
г < 2m — 2p — 3 (потому что пространство fDp гомотопически эквивалентно конусу отображения / : S(f) —► fS(f), имеющему размерность не более 2р — т + 1, сравни с [26, Lemma 4.2]). Таким образом, в силу предположений q < т — 3, 2р + 2q < Зт — 4 и теоремы вложения из [29] ограничение / |Di ' (Dq, 8Dq) —» (Dm — fDp, 8Dm — f8Dp) гомотопно вложению. Значит, / принадлежит образу естественного отображения DMpq —» DM™q.
Ииъективиостъ. Возьмем сингулярную конкордантность общего положения / : (Dp U Dq) х I —> Dm x J, ограничение которой на Dq х 9/ U сШр х I является вложением. Достаточно устранить самопересечения цилиндра Dqxl с помощью сингулярной гомотопии, неподвижной на (DpUDq) х 81. Это возможно в силу следующей теоремы, доказываемой аналогично теореме вложения из статьи [29], так как пара (Dm х I — f(Dp х /), 8Dm х I — f[8Dp х /)) является (2т — 2р — 3)-связной. □