Гомоморфизмы АН-плоскостей и изотопии тернаров

• Автор: Шатохин, Николай Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Смоленск, Владикавказ
• Количество страниц: 120 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Координатизация аффинных ельмслевовых плоскостей § 1. Аффинные ельмсйевовы плоскости
§ 2. Обобщенные тернарные кольца со смежностью
§ 3. Частичные тернарные кольца
§ 4. 4//-плоскости и АН-тернары
Глава 2. Гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей § 1. Л//-морфизмы Л//-плоскостей
§ 2. Л//-тернары с улучшенной смежностью
§ 3. Г омоморфизмы /1//-плоскостей
Глава 3. //-плоскости и изотопии Л//-тернаров
§ 1. Изотопии АН-тернаров и реперные изоморфизмы ///-плоскостей 95 § 2. Изоморфные //-плоскости и изотопии Л//-тернаров
Заключение
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
В диссертации используются общепринятые обозначения логических операций и кванторов, а также операций над множествами;
большими буквами латинского алфавита L, М, Q...обозначаются прямые; теми же буквами L,P, R. Т..жирным шрифтом - множества;
малыми буквами латинского алфавита а, Ь, с ...обозначены элементы основного множества Т тернарного кольца; буквами р, q, г, s... — точки; такими же буквами т, к, - индексы;
буквами/ g и р а также малыми буквами греческого алфавита а, Д у, (р
курсивом - новые понятия;
I, II, ~ - отношения инцидентности, параллельности и смежности, соответственно;
pq — прямая инцидентная несмежным точкам р и q; ip, L) - точкар инцидентна прямой L;
Lip, М) — прямая параллельная прямой Ми инцидентная точкер;
JIL - направление, содержащее прямую Z,;
t, t0 - тернарная и частичная тернарная операции, соответственно:
+, ® s — бинарные операции, определяемые условиями: а + Ъ = /(1, а, Ь), a® b = tia, 1 ,b),a-b = t{a,b,0);
tria, b, c), tmia, c, b), t‘{c, a, b), tr{a, b c, d), t"a, b c, d), t'ia, b; c, d), it"'s ia, b; c, d), trS(a,b;c,d)) - решения уравнений t{a, b,x) = c, tip, x, b) = c, tix, a, b) = c, t{a, b, x) = tic, d, x), tia, x, b) = tic, x, d), t{x, a, b) — t(x, c,d) и системы уравнений (t{a,x,y)=b & tic,x,y)=d), соответственно;
Po, pi, pi -невырожденная тройка точек, a R{p0,p„p2) - аффинный репер индуцированный этой тройкой;
2) - множество делителей нуля тернарного кольца вместе с нулем;
— конец доказательства теоремы, предложения или следствия.
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена разработке теории Л//-плоскостей - одного из классов инцидентностных структур.
Под инцидентностной структурой [1] понимают тройку <Р,Ь; 1>, где РПЬ = Ф, а1сРхЬ.
Элементы множества Р принято называть точками, а элементы множества/. — прямыми. Отношение I называют отношением инцидентности.
В настоящее время наиболее изученными классами инцидентностных структур являются проективные и аффинные плоскости, по теории которых имеется обширная литература, в том числе ряд монографий: [14, 36, 46, 58, 63].
Один из новых методов алгебраических описаний инцидентностных структур был предложен в [8, 9, 29, 30]. В этих работах продолжена разработка теории проективных плоскостей с точки зрения алгебраических систем. Такой подход позволил совершенно по иному подойти к известным проблемам теории проективных плоскостей и получить результаты, связывающие алгебраическую теорию таких плоскостей с геометрией, комбинаторикой и теорией чисел. В них решен ряд алгебраических задач и получены результаты о свойствах свободных и близких к ним объектов и гомоморфизмах.
Инцидентностная структура Л = <Р,Ь; 1,11> называется аффинной плоскостью, если на множестве Ь задано некоторое отношение эквивалентности II, называемое параллельностью и при этом, справедливы следующие аксиомы:
А1. Для любых двух различных точек р и с/ существует единственная прямая Ь такая, что р 11 и ц1Ь.
А2. Для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая Ь такая, что р IЬ и Ь II М.
АЗ. Если для прямых 1иМне существует точки, инцидентной одновременно обеим этим прямым, то ЬII М.
А4. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.
Используя терминологию TR, элемент 0 называется нулевым элементом GTRp, а 1 - левой единицей этого кольца.
Определение 1.3.2. Если тернарная операция t0 некоторого GTR0 удовлетворяет условиям:
ТН10. (V6, dcT(b~d))(da, csD)(x,=t'0 (а, Ь; с, d)=>((Зх2 (х2 Ф х,))|х2=/о (а, Ь; с, d))),
ТН20. (yb, deT(b~d))(y а,сеТ)(Э(х,у))(аФс<=>(х= (a, b; с, d) &y=f0s(a, b; с, d))), то такое GTR0 называется обобщенным частичным тернарным кольцом со смежностью ~ и обозначается GHTR0.
По поводу введенных аксиом 77/10 и ТН2а можно дать некоторые пояснения. Условие 77/Го сформулировано в форме, соответствующей 77/1. Действительно, так как в данном случае всегда а~с, то, согласно 77/1, уравнение t„(x, а, Ь) = /0(х, с, d) не может быть разрешимо однозначно, а, следовательно, если оно разрешимо, то неоднозначно, что и отражено в 77/10. В 77/10 и 77/20 требование b~d фигурирует в соответствии с (1.3.2).
Определение 1.3.3. Если операция t0 удовлетворяет условию:
(а,~£, & {а2,аъ)фф2,Ь3) & а10(а2,а3;Ь2,Ьй)) b,=tl0(a2,a3,b2,b3), (1.3.3)
то такое частичное тернарное кольцо GHTR0 называется однородным.
Ниже доказываются некоторые свойства GHTR0.
Предложение 1.3.1. В любом GHTR0 элементы 0 и 1 несмежны.
Доказательство. Система уравнений /0(1,х,у) = 0 & /„(0,х,у) = 0, в силу 720 и 730, имеет единственное решение х=у=0. Тогда из ТН20 следует, что 0*1.
Из предложения 1.3.1, с учетом 77/2„, вытекает справедливость следующего утверждения.
Следствие 1.3.1. Нулевой элемент любого GHTRo определяется однозначно.
Теорема 1.3.1. В любом GHTR0 имеют место следующие свойства:
1 ) при b * d значения пары операций (f(a, b; с, d), (?(а, b; с, d) не определены. Если а~с, b~d их, = tf(a, b; с, d) & у,= tr0s(a, b; с, d), то найдется, по