Геометрия эквиаффинных отображений

• Автор: Дмитриева, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Глава 1. Дифференцируемые многообразия и их отображения

§1. Многообразия и линейные связности

§2. Гладкие отображения многообразий

§3. Некоторые С-структуры на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмы

§4. Представление линейных групп. Теорема Вейля

Глава 2. Эквиаффинные отображения

§1. Эквиаффинные структуры на дифференцируемых многообразиях

§2. Отображения многообразий с эквиаффинными структурами

§3. Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий

Глава 3. Геометрия эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий

§ 1. Классификация эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий

§2. Геометрия эквиаффинных отображений классов 3, © 32;
32©33; 3,©33
§3. Геометрия эквиаффинных отображений классов Зь 32 и З3
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Актуальность темы исследования. Аффинная дифференциальная геометрия является одним из важных разделов геометрии. Начиная с первых работ Бляшке (¥. ВНяйке) первой четверти прошлого века, она постоянно привлекала к себе внимание геометров. В 1923 году в Германии, в 1959, 1960 и 1977 годах в Советском Союзе, в 1991 году в Японии, в 1993 году в Германии и в 1994 году в США были изданы монографии [1], [31], [38], [40], [43] и [56], специально посвящённые аффинной дифференциальной геометрии. Начиная с 1986 года (конференция в Обервольфахе, см. [42]) стали проводиться международные конференции по аффинной дифференциальной геометрии.
Следует констатировать, что если для отечественных геометров аффинная дифференциальная геометрия была традиционным объектом изучения, интерес к которой к концу прошлого века постепенно сошёл на нет, то у зарубежных геометров, наоборот, с конца прошлого века активность исследований в этой области резко возросла.
Толчком для возрождения их интереса послужила лекция [61], прочитанная одним из классиков геометрии Номидзу (К. Мопнги) в Мюнстерском университете в 1982 году с «грандиозным», как об этом пишет Клингенберг (¥. Ш^епЬещ) в [51], названием «Что такое аффинная дифференциальная геометрия?».
В лекции Номидзу выдвинул новую структурную точку зрения, согласно которой под аффинной дифференциальной геометрией следует понимать геометрию «-мерного гладкого многообразия М с экви-

8Цн, Я) -структуре многообразия М, «-форма / со будет принадлежать 8Ь(н, К) -структуре многообразия М в том и только в том случае, если / со = Ссо для «-формы со и постоянной С > 0. Это равенство является необходимым и достаточным условием того, что отображение /: М -» М порождало изоморфизм 8Ь(н, К) -структур. Справедлива
Лемма. Диффеоморфизм /: М —> М п-мерных связных многообразий с эквиаффинными 8Ь(«, Я) -структурами (й>, V) ц (со, V) соответственно будет эквиаффинным отображением тогда и только тогда, когда / со = С со для произвольной постоянной С > 0.
На основании леммы можно сформулировать классификационную теорему для изоморфизмов 8Цн, Я) -структур.
Теорема 3.1. Существуют только три класса изоморфизмов $>С(п, К)-структур. Они порождаются диффеоморфизмами / :М -> М связных многообразий с БЦн, И) -структурами, которые уменьшают (для С < 1), увеличивают (для С > 1) и сохраняют (для С = 1) элемент объема со многообразия М.
Замечание. Приведенное утверждение не имеет инвариантного характера, поскольку "привязано" к плотностям со и Ш, принадлежащим 8Ь(н, I*) -структурам многообразий М и М . Эти плотности, как было установлено выше, определяются с точностью до постоянных множителей. А потому их замена приведет к нарушению классификации.
Рассмотрим случай, когда /- диффеоморфизм многообразия М на себя, справедливо
Следствие. Пусть М - дифференцируемое класса С°° п-мерное многообразие с 8Ь(«,Я) -структурой, тогда /:М—>М - диффео-