Алгебраическая конструкция сигнатуры топологических многообразий

• Автор: Попов, Петр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 66 с. : ил.

1 С*—алгебры
2 Сигнатура абстрактных С*—модулей
2.1 Категория модулей и отображений
2.2 Определение сигнатуры
3 Сигнатура топологических многообразий
ф 3.1 Двойственность Пуанкаре в когомологиях с коэффициентами
3.1.1 Топологические многообразия и гомологии с коэффициентам
3.1.2 Гомологии с компактным носителем
3.1.3 Доказательство основной теоремы
3.2 Категория сингулярных комплексов Пуанкаре
3.2.1 Бесконечномерная перестройка
3.2.2 Конечномерная перестройка
3.2.3 Определение сигнатуры
Литература

Известно, что с каждой эрмитовой формой над комплексным векторным пространством можно связать число, которое равняется разности размерностей положительного и отрицательного подпространств формы в каком-то разложении исходного пространства. Это число называется сигнатурой формы и не зависит от способа приведения формы к диагональному виду.
В топологии квадратичные формы естественно возникают при изучении групп когомологий многообразия. Взяв два элемента когомологий средней размерности ориентированного, замкнутого многообразия, мы можем рассмотреть их произведение и проинтегрировать его по фундаментальному циклу. В случае, если размерность многообразия делится на 4, полученная квадратичная форма будет обладать свойством эрмитовой симметрии, и для нее возможно определить сигнатуру.
Такая сигнатура естественно ведет себя по отношению несвязной суммы многообразий (сигнатура суммы равна сумме сигнатур) и по отношению к декартовому произведению (сигнатура произведения равна произведению сигнатур). Кроме того, сигнатура является инвариантом ориентированных бордизмов, то есть сигнатура многообразия, являющегося краем, равна нулю. Подобного рода свойства делают сигнатуру незаменимой при изучении многообразий и для их классификации.
Формула Хирцебруха [3] дает способ для вычисления сигнатуры многообразия Л” в терминах Ь— рода Хирцебруха:
з1дп(Х) =< Ь(Х), [X] >
Фундаментальным по важности является результат Тома, использующий формулу Хирцебруха. Результат гласит, что рациональные классы Понтрягина и Ь— род Хирцебруха определяются сигнатурами специальных подмногообразий (то есть 4п-мерных подмногообразий с тривиальным конормальным расслоением). Такого рода взаимосвязь позволила С.П. Новикову [9] решить проблему топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина, сведя задачу к анализу сигнатур специальных подмногообразий. В работах Новикова возникла проблема гомотопической инвариантности высших сигнатур. Предполагается, что для любого класса а когомологий классифицирующего пространства Вж фундаментальной группы тг выражение
< ЦХ)ф*а,[Х] >
является гомотопическим инвариантом, здесь ф : X —> является
классифицирующим отображением многообразия.
Эта проблема по праву считается одной из важнейших проблем современной математики и в полной мере не решена до сих пор. Вернемся к ней позже, а сейчас о возможных обобщениях сигнатурных инвариантов многообразий.
Естественное желание состоит в построении сигнатурных инвариантов для неодносвязных многообразий с нетривиальной системой коэффициентов, заданной представлением фундаментальной группы. Если мы возьмем в качестве кольца коэффициентов комплексные числа и рассмотрим какое-то представление фундаментальной группы в комплексных числах, то по-прежнему на когомологиях средней размерности будет существовать невырожденная эрмитова форма. Однако, мы не получим никакой дополнительной информации о многообразии, так-как сигнатура полученной формы будет совпадать с сигнатурой исходного многообразия.
Для получения новых инвариантов необходимо использовать системы коэффициентов, порожденные представлением фундаментальной группы многообразия в каком-то инволютивном кольце с единицей. В качестве инварианта должен служить свободный (или всего лишь проективный) модуль с заданной на нем эрмитовой формой (или, иначе, биективное линейное отображение из исходного модуля в модуль анти-линейных функционалов на нем). Разумно рассматривать такие модули с точностью до прибавления гиперболического прямого слагаемого, то есть как элементы эрмитовой К— теории.
Убедимся, что оператор Д_1 обладает необходимым свойством самосопряженности:
Ц-1 = + (-1)г+м„-.+2^;
= (-1 + (-1)‘'+1+(п+2_,')(,'_1)5п_,+2£)п_,+2 = (3.94)
= (-1 )"-’-+1£п_;+1.
Поскольку квадраты комплекса пары Пуанкаре коммутативны с точностью до В, то выполнено свойство Ргп,Е1 — 0. Сопрягая это равенство, получаем равенство Еп^{Рг*в. — 0. Итак, определен гомоморфизм:
Е{ : Вп~* -> В,. (3.95)
С помощью леммы о пяти изоморфизмах, примененной к точной
длинной последовательности групп гомологий, порожденной короткой последовательностью комплексов
В С С/В (3.96)
убеждаемся, что оператор Е{ осуществляет изоморфизм в гомологиях Н(В*) и #(£,).
Итак, построенная диаграмма задает сингулярный комплекс Пуанкаре.
Для сингулярного комплекса Пуанкаре с = {С„, ф, 1)*} построим сингулярный комплекс Пуанкаре с ’’обращенной ориентацией” —с = {С*, ф,—£>*}, умножив оператор двойственности на минус единицу.
Для двух сингулярных комплексов Пуанкаре с = {С., ф,£>*} и = {С(,ф,£)(} одной и той же размерности построим третий комплекс си с! = {С, 0 С(,ф © ф,П* ф £)(}, который назовем прямой суммой.
Назовем сингулярные комплексы Пуанкаре с и с' размерности п бор-дантными, если существует сингулярная пара Пуанкаре размерности п + 1 такая, что ее граница (в смысле конструкции 5) равна с и —с'.