Геометрия главных T1-расслоений над нечетномерной базой

• Автор: Савинов, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Почти эрмитовы структуры

1.2 Почти контактные структуры

2 Связь почти эрмитовой и почти контактной структур

2.1 Структурные уравнения главного

Т1 -расслоения

2.2 Компоненты тензора Римана-Кристоффеля

2.3 Тензор Риччи и скалярная кривизна

2.4 Ковариантное дифференцирование

3 Каноническое главное Т1-расслоение
4 Главные Тх-расслоения над некоторыми ЛС многообразиями.
4.1 Главные Тх-расслоения над нормальным многообразиями .
4.2 Главные Т1-расслоекия над К-контактными многообразиями
4.3 Главные Т1-расслоения над многообразиями Кенмоцу
4.4 Главные ^-расслоения над слабо косимплектическими
многообразиями
Литература

Введение
Главные расслоения с компактной абелевой структурной группой (короче, главные тороидальные расслоения) представляют интерес как с точки зрения дифференциальной геометрии, так и с точки зрения теоретической физики. Главные тороидальные расслоения являются одним из базовых объектов для построения новых примеров таких дифференциально-геометрических структур, как эйнштейновы метрики, почти эрмитовы и почти контактные структуры. В данной работе исследуются главные тороидальные расслоения над почти контактными многообразиями.
Почти контактные и почти контактные метрические структуры являются одними из наиболее содержательных дифференциальногеометрических структур. Их теория является естественным обобщением контактных структур, имеющих приложения в классической и квантовой механике. Изучение почти контактных структур началось в 1953 году в работах Чженя. Он, в частности, показал [17], что если М — дифференцируемое многообразие размерности 2п+1 с фиксированной контактной формой т] : т] А (с1г])п ф 0, то оно допускает (7-структуру со струк-
турной группой {1} ® и(п). Позднее многообразия, допускающие такую (7-структуру, Дж.Грей назвал почти контактными многообразиями. Им же было введено понятие почти контактного метрического многообразия [22].
В 1960 году Сасаки в работе [35] показал, что многообразие, допускающее С-структуру со структурной группой (1}®Н(гг), несет внутренним образом определенную тройку тензоров {Ф, £, 77}, обладающих свойства-

т}{£) = 1; т] о Ф = 0; Ф2 = —1(1 + г) 0 £.
В своих работах Сасаки доказал, что на таком многообразии М всегда существует положительно-определенная метрика д = {•, •), такая что
Т)(Х) = <£, х), (ФХ, ФУ) = (X, У) - д(Х)д(У),
дополняющая почти контактную {Ф, £, ц}-структуру до метрической.
Почти контактные и почти контактные метрические многообразия исследовались также в работах Блэра[16], Танно[39], Исихары[24] и других геометров. Блэром, в частности, был изучен вопрос интегрируемости контактного распределения контактного многообразия. Ему удалось доказать [14], что через каждую точку контактного многообразия проходят интегральные многообразия контактного распределения размерности, не превышающей половины размерности контактного распределения. Геометрия таких многообразий изучалась лишь в случае сасакиевых пространственных форм, то есть многообразий Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Напомним[13], что почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Сасаки, если для него справедливо соотношение:
У*(Ф)Г = (X, У) £ - д{У)Х, X, У е Х(М).
Блэр, в частности, доказал [14], что если почти контактное метрическое многообразие является нечетномерной сферой 52п+1, снабженной канонической сасакиевой структурой, то интегральные многообразия контактного распределения, будучи вложенными в 32п+1 как вполне геодезические подмногообразия, представляют собой области сферы 3".
Вопросом об интегрируемости контактного распределения почти контактной метрической структуры и геометрическим свойствам его интегральных многообразий посвящена работа Кириченко В.Ф. и Борисовского И.П. [3]. В этой работе авторы доказали, что через каждую точку произвольного контактного многообразия М2п+1 в любом п-мерном вполне вещественном направлении проходит интегральное многообразие

Далее:
2) V«*/ = <У£я, е7) д7 + <У£я, е°) е0 + < У£1/, е0) е° =
= П (£, е7) е7 + ■— (У?г/, С) £о - ^3 (У£1/, г/) е0 + <У£|/, О £° =
= Г2 (£, е7) е7 = ^07в7;
3)У„£а = <У„£а> £7) £7 + {У^а, £°) £0 + (У^а, £о) £° =
~<У„£аД}£0 + ^
Оа7£7 + {У^£а1 О £() (У 1/£а) О £ — ^а-у£7 + .2(,о£"о 4"
4)У££а = гяУ|£а + (У££а, *>) V = гяУ^£а - ^(£, еДг' =
= г’яУ|£а - У^Поа*' = *яУ€-ёа - ч/-Щьв'о 4- ч/^Щ^е0;
5)У£аС = гН^ёЛ + (^£а£,г/>1/ = гН^ёЛ - ч/^^Оа^О + У^^Оа£°
6)Уе„£/3 = *яУё„ёд - (У£„£/3, и) V = гяУ«?„£/? - Па/?у =
= г'яУ£аё/з ^2а^ер -} '
Доказано:
Предложение 2.1. Если (Р, М,тс,С — Тг) — главное Г1-расслоение над почти контактным многообразием, то выполняются следующие соотношения:
1) У«С = *яУ£1;
2) У£п = ч/2!Г2о7£7;
3) У!/£<* — ^-а7—' Ь ^аО^О 4" ^2а()£ т
4) У££Га = гЯУ|£а - У^ПОоа^О + ч/^Т^Оае0;
5) У£а£ = гн^еЛ ~ ч^Т^ово + ч/=Шаое°;
6) Уе„£/? = Д/У^ёд — + ^^П^е0.
Далее найдем У£а£о:
V,.,. = - .Р2 V«., =
-^^Оа7£7-^^Па0го—-^Оа0£° = ^г>/Уе-с1|-^^Па7£7~'/У20(Ю£-о;

(2.5)