Группы автоморфизмов некоторых классов геометрических структур на орбиобразиях

• Автор: Багаев, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Глава 1. ОРБИОБРАЗИЯ И ИХ СТРАТИФИКАЦИИ

1.1. Категория орбиобразий

1.1.1. Определение орбиобразия

1.1.2. Примеры орбиобразий

1.1.3. Определение морфизма . *

1.1.4. Примеры морфизмов орбиобразий

1.2. Стратификация орбиобразий и ее свойства

1.2.1. Орбифолдный тип точек орбиобразия

1.2.2. Свойства стратификации орбиобразия

1.2.3. Примеры орбиобразий с указанием их стратификации

Глава 2. ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ С-СТРУКТУР КОНЕЧНОГО ТИПА НА ОРБИОБРАЗИЯХ

2.1. Расслоенные пространства над орбиобразиями
2.1.1. Определение расслоенного пространства над орбиоб-разием . .
2.1.2. Векторные расслоенные пространства и их сечения
2.1.3. Касательное векторное пространство к орбиобразию
2.2. С-структуры на орбиобразии
2.2.1. Главное расслоенное пространство над орбиобразием
2.2.2. С-структура
2.2.3. Связность в главном С-расслоении
2.3. Продолжение С-структур
2.4. Группа автоморфизмов С-структуры
2.5. Влияние стратификации на размерность группы автомор-

физмов С-структуры на орбиобразии

Глава 3. ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ РИМАНОВЫХ ОР-БИОБРАЗИЙ И ОРБИОБРАЗИЙ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
3.1. Группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности
3.1.1. Аффинные связности на орбиобразиях
3.1.2. Автоморфизмы орбиобразий аффинной связности
3.1.3. Накрытия орбиобразий
3.1.4. Влияние стратификации на размерность группы автоморфизмов орбиобразий аффинной связности
3.2. Группы изометрий римановых орбиобразий
3.2.1. Римановы связности на орбиобразиях
3.2.2. Топология в группе изометрий риманова орбиобразия
3.2.3. Аналог теоремы Бохнера
3.2.4. Оценки размерности группы изометрий в зависимости от стратификации
3.3. Группы аффинных преобразований римановых орбиобразий
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. Понятие орбиобразия введено И. Сатаки [72] иод названием П-многообразия. Сам термин орбиобразие предложен У. Терстоном [78].
Орбиобразия естественным образом появляются и используются в различных областях математики и теоретической физики: в теории струн [49, 16, 17], в симилектической геометрии [57, 68], в деформационном квантовании [67].
Орбиобразия возникают в теории слоений в качестве ’’хороших” пространств слоев. Как доказано в [85], из существования собственного слоя с конечной группой голономии для трансверсально полного риманова слоения вытекает, что все слои этого слоения собственные, замкнутые, имеют конечные группы голономии, а пространство слоев является орбиобрази-ем. Известно [70], что это выполняется также в случае замкнутости всех слоев слоения на полном римановом многообразии с ”bundle-like” метрикой. Верно и обратное [22], каждое орбиобразие является пространством слоев некоторого трансверсально полного риманова слоения с замкнутыми слоями. Известно также [21, 50], что компактное слоение имеет в качестве пространства слоев орбиобразие тогда и только тогда, когда оно локально стабильно.
У. Терстон [78] использовал двумерные орбиобразия при классификации трехмерных многообразий.
Гладкое орбиобразие является одним из естественных обобщений гладкого многообразия: в качестве модельного пространства берется не R",

а фактор-пространство К” но конечной группе диффеоморфизмов Г, при этом группа Г не является фиксированной и может меняться при переходе от одной окрестности орбиобразия к другой.
Гладкие орбиобразия образуют категорию, которая является подкатегорией категории A-пространств М.В. Лосика [26, 27].
Для гладкого орбиобразия естественным образом вводится понятие стратификации. Изоморфизм координатных окрестностей в категории орбиоб-разий соответствует эквивалентным действиям одной и той же группы Г на R". Мы говорим, что две точки орбиобразия имеют один орбифолд-

а) &,•(7) о фц = о Д(Ду(7)), 'Д' <Е Д, где ф^ Г, -» Гу — мономорфизм групп, индуцированный инъекцией Ду; Ь) если Ц С Ну С Г/*, а
Фи И ф]к — соответствующие инъекции карт, ТО ф]к О Ду = ф>1] О Ф]к.

Будем обозначать указанное расслоенное пространство над через £
{Л,
Для каждой карты (Г2г-, Гг-,рг) £ Д антимономорфизм 6г- задает гладкое действие Ф;: Г ; х Д —>• Д: (7, г) И- Ь;(7-1)(,г:) группы Гг- на многообразии Д. Поскольку группа Г* конечна, то фактор-пространство Д := Д/Г,-является гладким орбиобразием размерности сНтАД-сит Д причем имеет место равенство тг;орг- = щор^ гдер;: Д -> Д/Г*- — фактор-отображение, а 7Г;: Д Ц отображает орбиту ТОЧКИ 2 £ Д В точку Рг/тГгД)) £ Ц
рг(Пг). Обозначим через Р дизъюнктное объединение 1 |г-е^7 Д. Введем В Р
отношение эквивалентности р: Будем говорить, что две точки 2,- £ Д и 2у £ Р] являются ^-эквивалентными и писать г; ~ 2у, если: а) =
7Гу(гу) = х € Ц П 11 у, Ь) существуют такие две точки 2; £ (р,;)“1^) и ^ € (Р;)-1(%) и каРта Ф*»Г*,РЛ:) £ Л с координатной окрестностью Ик) что х е Щ С ЦП Ц и 2у = (фу)~1 0 ФыЦф- Симметричность и рефлексивность отношения р очевидна. Докажем транзитивность р.
Пусть 2; £ Д, 2у £ Ду, 2/ £ Д И 2; ~ 2у, 2/ ~ 2(. Тогда 7Гг(2;) = Д'(Д) = 7Г((2/) =: х И существуют ТОЧКИ 2; £ (рг)-1(2;), 2у £ (рД_1(Д), г] £ (Р;)_1(%)5 € (р/)_1Й) И карты (П*,Г*,р*), (От,Гт,рт) с координатными окрестностями 11к, ит такие, что х £ Щ С Ц Г) Ну, X е ит С V] П Н/ И 2у = (Йу)-1 о фиЦг), 2; = («Дн)-1 0 ФтП°-скольку 2у, 2у £ (р_/)_1(д), то существует ТаКОЙ 7 £ Гу, ЧТО 2у = Д(7)(2;). Так как атлас Д — максимальный, то для а; найдется карта (£Д, Гпрг) такая, что х £ Ц С 11кП ит. Зададим инъекцию фгт: Аг —>• Н1т равенством фгт •= (Ду)-1 0 7 0 Фу 0 Фу, гДе Фу '■ Сг —> Г2у — произвольная инъекция карты Д.,рг) в карту (ГД,Г^,рД. Тогда фгк ® 7/у = Ф гт ° Фт,} ° Д(т)-Благодаря условию 2Ь) определения 2.1.1 МЫ имеем фгт О фт1 = фт1 0 Фгт И Фгк ° Фк1 = Фы 0 Ф*г/с • Отсюда 2; = {фт() ° Фт] Ду) = {Фтф 0 Фт)
ДДНд) = (Фт1)~1 0 (0пп)_1 0 Фгк О Фк)Ц]) = {Фгт ° 0ш/)_1 0 Фгк ° Фы&)
(Фт1 ° Фгт)-1 ° Фы 0 ФгкЦф- Следовательно, точки 2; и 2; р-эквивалентны и отношение р действительно является отношением эквивалентности.