Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения

• Автор: Рухиан Хомаюн
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 57 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 Постановка задачи и основные определения

1.1 Постановка задачи

1.2 Линии Стокса и канонические области

1.3 Асимптотика фундаментальной системы решений

1.4 Матрицы перехода

1.5 Асимптотика матрицы монодромии

2 Асимптотика спектра оператора И на стандартной сфере 82

2.1 Разделение переменных в спектральной задаче. Редукция к задаче с регулярными особыми точками

2.2 Топология линий Стокса и асимптотика спектра

2.3 Расположение спектра на комплексной плоскости
3 Асимптотика спектра Л на поверхности вращения
3.1 Разделение переменных. Задача с особыми точками
3.2 Асимптотика спектра
3.3 Расположение спектра на комплексной плоскости
3.4 Условия квантования на римановой поверхности

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы.
Геометрические аспекты спектральной теории дифференциальных и псевдодифференциальнь операторов изучались в огромном количестве работ; результаты этой теории имеют много приложений в математике и теоретической физике. Спектральная теория несамосопряженных операторов, сравнительно с самосопряженным случаем развита значительно менее полно; как структура спектра, так и свойства спектрального разложения могут быть в этой ситуации весьма экзотическими. В частности, в несамосопряженном случае к настоящему времени отсутствует общая теория квазиклассичеких асимптотик, аналогичная теории В.П. Маслова квантования инвариантных лагранжевых многообразий. В работе[5] построены спектральные серии оператора Лапласа-Бельтрами со сносом в евклидовом пространстве, соответствующие асимптотически устойчивым положениям равновесия, предельным циклам и инвариантным торам соответствующего векторного поля. В работах [11, 12, 17, 13, 15, 6, 14]полностью исследован спектр одномерного оператора Шредингера и Орра - Зоммерфельда на отрезке с потенциалами простейшего вида (линейным, квадратичным и близким к линейному); отметим, что ряд утверждений об условиях квантования содержался еще в работе [4]. В этих работах, в частности, было показано, что спектр в квазиклассическом пределе стягивается к некоторому графу на комплексной плоскости. В работах [1, 2, 8] исследован спектр одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом простейшего вида (линейный или квадратичный тригонометрический многочлен) на окружности; в частности, был найден спектральный граф и показано, что асимптотика спектра может быть вычислена из топологических условий квантования на римановой поверхности — комплексной поверхности постоянной энергии.
В настоящей диссертации описан спектр оператора Лапласа - Бельтрами со сносом на двумерной компактной поверхности вращения, гомеоморфной сфере (рассматривается поле скоростей, направленное вдоль паралллелей и линейно зависящее от высоты). Показано, что спектр вычисляется из условий квантования на соотвествующей римановой поверхности, аналогичным условиям Бора - Зоммерфельда - Маслова ([9, 10]); однако, в отличие от самосопряженного случая, в нашей ситуации достаточно требовать выполнения такого условия хотя бы на одном базисном цикле

поверхности (разные циклы определяют разные спектральные серии). Исследован спектральный граф (состоящий из трех ребер); особенно полную информацию о нем удается получить в случае стандартной сферы - тогда асимптотика спектра выражается через эллиптические интегралы. При доказательствах соответствующих теорем применяется техника, развитая в работах [16, 7] и основанная на изучении решений спектрального уравнения в комплексной области и, в частности, на исследовании топологии т.н. графа Стокса (ребра этого графа ограничивают области, в которых справедливы квазиклассические асимптотические формулы).
Цель работы.
В настоящей работе автор ставил перед собой следующие цели:
1. Описать топологические свойства спектра несамосопряженного оператора Лапласа со сносом на двумерной поверхности вращения, гомеоморфной сфере.
2. Описать квазиклаесическую асимптиотику спектра несамосопряженного оператора Лапласа — Бельтрами со сносом на двумерной поверхности вращения и ее связь с топологтей графа Стокса.
3. Исследовать топологию спектрального графа и его расположение на комплексной плоскости.
4. Получить простые и эффективные формулы для спектральных серий в случае стандартной сферы.
Методы исследования.
Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальнс геометрии и топологии, спектральной теории дифференциальных операторов, аналитической теории дифференциальных уравнений. В работе используется результаты асимптотической теории дифференциальных операторов, разработанной М.В. Федорюком.
Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

Значит
1тДт cos 9-Х = v'm2 cos2 9 + X2sign(cos9).j 1 - Vm*c2 6+—
и, кроме того,
ImJimcos(w - 9) - A = —/m2 cos2 0 + X2sign(cos9).j 1 — ^ —.
Поэтому при Л £ (—oo, 0):
Im / Vш cos 9 — Xd9 = Im / л/гтп cos 9 - Xd9 + Im / y/im cos 9 — AdO = 0 Jo Jo J
и лемма доказана.
Значит, мы доказали что часть спектра, определяемая условиями теоремы (2.2.1), лежит вблизи действительной оси (точнее, отрицательной полуоси).
Замечание 2.3.2. Решение уравнения im cos 9 — А = 0 (точка поворота в координате в) имеет вид:
9± = —г 1п(гА ± V—А2 — то2) — In т можно объяснить в следующее:
*± - ±а,ссо>[2^,/|Ар + 1 _ ./(|А|і + Ц2 _ 4(—)2]+
mV2 V m V m m
+ Jl - |£|2 + 2(^)2 + ^(|A|2 + i)2_4(to*)a г In--------У---- ■—
у1-|^12+У(|^12+1)2-4(^)
где Re A О.При A G (—oo, 0), ш последних равенств следует, что:
в±=<+гЧ1+&+^
Лемма 2.3.2. Уравнение
J(А) = /гтг [ /їг Jo
rim cos 9 — AdO =
на параметр А 6 (0,+оо) имеет только одно решение А0, причем А0 £ (—msinh f,0).