Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия

• Автор: Сухова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 150 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Структуры почти произведения и почти эрмитовы
структуры. Метрика Тамма
§1. Структуры почти произведения, римаповы структуры почти
произведения, почти эрмитовы структуры
§2. Классификация С.Е. Степанова структур почти произведения
на многообразии с линейной связностью
§3. Классы Навейра римановых структур почти произведения и их
геометрические характеристики
§4. Почти эрмитовы структуры Гфся-Хервсллы
§5. Пространства с метрикой Тамма
Глава 2. Инвариантные характеристики некоторых классов римановых структур почти произведения и почти эрмитовых структур на касательном расслоении гладкого многообразия
§6. Римановы структуры почти произведения и почти эрмитовы
структуры на касательном расслоении гладкого многообразия 56 §7. Инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения па касательном расслоении гладкого
многообразия
§8. Условия принадлежности классам Навейра римановых структур
почти произведения, заданных на касательном расслоении
§9. Тензорные признаки классов Грся-Хервеллы почти эрмитовых структур па касательном расслоении почти симплектического многообразия
Глава 3. Исследование кривизн касательного расслоения со специальной римановой метрикой структуры почти произведения

§10. Специальная риманова метрика д па ТМ. Связность Леви-
Чивита метрики д
§11. Тензор кривизны пространства (ТМ. д)
§12. Тензор Риччи пространства (ТМ,д)
§13. Секционные кривизны касательного расслоения с метрикой д
и их свойства
§14. Скалярная кривизна касательного расслоения с метрикой д 136 §15. Промежутки зпакопостоянства скалярной
кривизны касательного расслоения с метрикой д
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Систематическое исследование структур почти произведения (тг - структур), в том числе и римаповых структур почти произведения, было начато в середине 50-х годов прошлого столетня. К числу первых работ в этом направлении следует видимо отнести работы Леграида [42] - [47]. В работе [46] Леграид исследовал естественную 7г-структуру на главном расслоенном многообразии, горизонтальное распределение которой задавалось нифшштезнмалыюй связностью. Большое число работ посвящено построению различных связностей, согласованных с 7г-структурой [43], [44], [29]. В работах Б.Н. Шапукова [17] - [18] изучались естественные тг-структуры и связности на расслоенных пространствах и их автоморфизмы.
Имеется большое число различных классов (римаповых) структур почти произведения. Например, в работе [51] Навсйра получил 64 класса рима-новых структур почти произведения аналогично тому, как это было сделано Греем п Хервелла в [35) для почти эрмитовых структур. В работе [14] G.E. Степанов выделил восемь основных классов структур почти произведения, заданных па гладком многообразии с линейной связносгыо без кручения. Указанным классам дана геометрическая характеристика и получены инвариантные признаки принадлежности тому или иному классу.
Изучение специальных римаповых метрик па касательном расслоении ТМ гладкого многообразия М начинается с известных работ Сасакп [56]. [57], в которых вводится и исследуется естественный класс метрик, являющихся эрмитовыми относительно почти комплексной структуры, порожденной связностью Леви-Чивита римановой метрики д базисного многообразия М. Однако, как было замечено некоторыми авторами, [40], [53], класс метрик Сасакп является достаточно узким. Например, метрика Сасакп является келеровой лишь в случае, когда базисное многообразие является локально евклидовым; среди указанных метрик нет метрик ненулевой секционной кривизны.
Более общие метрики главной диагонали типа Сасакп исследовались многими авторами [39], [38], [9]. [11]. В указанных работах предполагалось,
Нетрудно убедиться, что подпространства {ТЕ;}, 1 < г < 6, ортогональны друг другу относительно внутреннего произведения (3.6).
Из шести основных подпространств {ГИД можно получить 64 инвариантных подпространства Кд пространства ТУ:
К0(Т) = ТУ01 0 ИЯ 0 ... ф ИЯ,
где в = (6*1, во
Так как (УФ)Х € ГИ, то каждому инвариантному подпространству Кв пространства. ТУ будет соответствовать некоторый класс римаиовой структуры почти произведения. Будем говорить, что риманово многообразие почти произведения (.М, (,},Р) принадлежит классу К$, если и только если для любой точки х £ М
(УФ)* € Ке(ТхМ).
Класс римаиовой структуры почти произведения, соответствующий ТУ{ будем обозначать ТУ,, соответствующий - ТУ;©ТУ/, и т.д. В частности
Р будет соответствовать {0}, а ЛУ
Среди данных 64 классов есть классы, дуальные друг другу в смысле простой перестановки слов 11 вертикальный"и "горизонтальный". С учетом этой дуальности имеем 36 различных классов римаповых структур почти произведения.
Поскольку ТУ = ТУ'1 © Ж", то каждое а £ ТУ можно представить в виде а = (3 + 7, где (3 £ РУДт £ ГИЛ Поэтому определяющие условия для каждого класса могут быть установлены как условия на. горизонтальное и вертикальное распределения. Далее будем записывать инвариантные характеристики классов в терминах VР вместо УФ. Имеет место
Теорема 3.3. Каждый класс римаиовой структуры, почти произведения (М, (,), Р) может быть определен парой условий (А, В), где А соответствует, горизонтальному распределению, В - вертикальному распределению, и выбираются, среди следующих условий:
И : 'ЯлД-РДгТ = V 11у(Р)ЬХ (соответственно ЧУх(Р)иУ = Х7уу(Р)иХ), АР : Vих(Р)ЬХ = 0 (соответственно Vьх(Р)пХ = 0),
0-1 : оА = 0 (соот.вет,ст.веп.нп пи = 0).