Функциональные методы в теории абсолюта

• Автор: Агеев, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 c. : ил

Содер канве

Глава I
Пункт I
Пункт
Пункт
Пункт
Пункт
Пункт 6
Пункт
Пункт
Пункт
Пункт
Пункт II
Глава
§ I. Построение отобра^геншЖ^:
§ 2. .Доказательство теоремы I
§ 3. Приложения: максимальный элемент в Жт); секвенциальный абсолют; бикомпактные Ст-рас-. ширешш. строго неприводимых, отображений
Глава
§ I. Построение б!-абсолюта
§ 2. (д-экстремально несвязные.пространства
Список литературы

Работа посвящена изучению функциональны!® методами частично-упорядоченного множества 9>СГ) -бикомпактных эвиварианткых расширений совершенных неприводимых эквивариантных прообразов регулярного &-пространства Т . Полученные результаты применяются к построению и описанию различных абсолютов.
Таким образом, работа находится на стыке двух направлений: теории топологических групп преобразований и теории абсолюта, которые в последнее время изучаются с самых различных точек зрения.
Так, например, трудами С.А. Антоняна, Ю.М. Смирнова [4],
Де Вриса [29] , [30] создана далеко продвинутая теория бикомпактных эквивариантных расширений, С.А. Антоняном [2] , Мадиримовым [15] , Ю.М. Смирновым [20] изучены различные аспекты эквивариант-ной теории ретрактов, А. Надировым [13] построены абсолюты топологических групп преобразований.
С другой стороны, в теории абсолюта наметились тенденции к изучению не только классического абсолюта Глисона-Пономарева.
[17], [26], но и некоторых совершенных неприводимых прообразов, лежащих ниже абсолюта: секвенциального абсолюта в смысле Колдунова [il], [14], S -абсолюта [27], многочисленных малых абсолютов, рассмотренных В.М. Ульяновым [22]. Недавно В. К. Захаровы?,!
[8], [il] , [31] была предложена функциональная характеристика секвенциального абсолюта и абсолюта Глисона-Пономарева с помощью банаховых алгебр квазинормальных и сильно квазинормальных функций. Как кажется автору, именно функциональная точка зрения позволяет дать единый подход к построению всех малых абсолютов.
В настоящей работе вводится банахова С-алгебра К^( I) всех классов эквивалентности ограниченных а-квазинормальных
функций и рассрдатривается частично-упорядоченное по включению

множество пт) всех 6г-банаховых подалгебр Г — КЛ(Т) г "разделяющих" точки от замкнутых множеств в Т . Оказывается, что при помощи З'СТ) можно описать частично-упорядоченное множество Пт) . Именно, строятся изотонная в обе стороны биекция
м-Пт) *Р(Т)
и изотонная сюръекция
У : Г(Т) МТ),
пр прообразы Г(Г-ЩТ )И ЖХЯГ^Т-^Т) полностью и явным образом описываются. (Здесь Л(Т) - частич-но-упорядоченное множество всех совершенных неприводимых эквивариантных отображении (X/—тихоновских пространств на Т ).
Тем самым топологические вопросы можно переводить на язык банаховых С-алгебр и наоборот.
Полученный результат является новым даже в случае тривиальной группы С и представляет собой функциональное описание множества пт) всех бикомпактных расширений неприводимых совершенных прообразов регулярного пространства Т . Подобно тому,
как данное В.В. Федорчуком [23] описание Ф(Т) с помощью В -близостей является обобщением известного результата Ю.М. Смирнова [21] о соответствии между близостями и бикомпактными расширениями, вышеприведенная теорема обобщает теорему И.М. Гельфанда [ГО] о характеризации бикомпактных расширений с помощью банаховых подалгебр из С (Т)
Отображение ^ , конструктивным образом предъявленное,
позволяет сделать ряд топологических выводов:
о существовании, единственности и функциональном представлении максимального элемента в ЛСГ) ;

эе: IТ'—> /> р ( Т] , замыкающего диаграмму (II): э} б"Р °де = £<)
Полагаем &($)(х) ■=[£*) ('д°(х))($) ).
Определение эе корректно, т.к.
Г(р)=ад=к = .
Проверка эе° : Э?°4(()(х) ~ (#*) УУ°(х))(£№))
Т(хЗб') - 9(> ({')(*) ,
Проверка б^рв : Докажем, что А 60 есть точка локализации фушщионала . Пусть 5е-Хи ^%-Хи дая некоторых
х ,у е р . Тогда 1е(з)(х) =(£)';
&с$)(р=(4У 7у°ф)(Уз.
Т.к. и , то $ С рч(и)] £у/ . Поэтому
из равенства -у'Тх) • -= УТуЗ -/тт^З слеДУ^» что
(4°) Уу'>(/хЗ)63=г 60 У У°(Р^З , а, стай о быть,
Эг^Хх^эе^У^) . Таким образом, есть точка локализации функционала эе(з) и поэтому Пр(хСП) - Ь($)
Из явной формулы для зе следует его эквивариантность. Осталось проверить биективность эе
Сюръективность: если ^ с /,р(Т) , то на С*(£Т') определен мультипликативный функционал /I (£) = ^ (Ж"* ° $ (4))
($ £ С*(4Х)), Функционал у4. "сосредоточен" на ПШЪ) : если 4>^(х)~ на множестве
то /1(1% (хЪ . Для доказательства этого заметим,
что совершенность гарантирует оценку Ц(х ~Х')-/-у Ц+ < £
ДЛЯ некоторой Ц € *Х((Гр()) , и, стало быть, | ^хЗ -£/55)
В силу произвольности ^>0 заключаем, что ^(5с) -/(£%(*)) -/<(4%(х'))^(х')