Некоторые вопросы итеративных алгебр Поста непрерывных функций

• Автор: Гаджиев, Фуад Аслан оглы
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 c. : ил

ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ ТИПА КСЛМОГОРОВА-СЛУПЕЦКОГО ДЛЯ АЛГЕБР

ПОСТА И МЕНГЕРА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

§ I. Основные определения

§ 2. Порождающие множества для алгебр Поста и

Менгера над некоторыми пространствами

§ 3. О строении алгебр Поста и алгебр Менгера над

трехмерной сферой

Глава II. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА АЛГЕБР МЕНГЕРА.ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ

АЛГЕБРЫ ПОСТА И МЕНГЕРА

§ I. Алгебра Менгера как функтор. Определимость топологического пространства его алгеброй Менгера.
Конгруэнции
§ 2. Конечнопорожденные плотные подалгебры
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ В 1957 году А.Н.Колмогоров показал [7] : любую непрерывную вещественнозначную функцию 71 переменных на отрезке I — [0,1] можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и одной функции двух переменных-сложения. В теореме Колмогорова утверждается: для любого целого 717/2 существует

П(2.П И) монотонных и непрерывных функций ф . L —* Г таких,
что любая непрерывная функция 71 переменных на отрезке допускает разложение:
ё.п+1 -п

где У 7?—> 7? - непрерывные функции, зависящие от f
PQ.
Подчеркнем еще раз, что внутренние функции У* в формуле (4) зависят лишь от числа 17 и эффективно строятся с помощью некоторого предельного перехода.
Теорема Колмогорова допускает следующую геометрическую интер-претацию. Положим в (1) ^ С<^3 ?^п) = 2/ У* (Жр) . Тогда набор функций (Ф, . Ф ) задает вложение 1° в 7? nf . Теперь теорема Колмогорова означает, что каждая функция f , непрерывная на образе куба , есть сумма функций координат:
f ($>■ •• ,%„„)= ■ - ■+ > ■
Анализ доказательства теоремы Колмогорова показывает:
1) функции У" Рос) можно выбрать в классе Lip Ы ( [ЗО.чЛЦ)
и даже в классе Lip { ([d7] , [38J ), но невозможно в классе С1
непрерывно дифференцируемых функций (LI8] , (d] );
2) функции у-1 Р а) можно выбрать вида ’hJF х) , где 2 <= R ( [ 29J , [38] , [30, чЛ1] );
3) функции можно выбрать одинаковыми ( [29] ,[30,чЛТ] ).

Существует прямое обобщение теоремы Колмогорова, полученное Острандом [33] : формула (I) верна, когда переменные } $!п
принимают значения, в конечномерных метрических компактах Х<
а а, пробегает значения 1,.-. >с>тр1 ,где т ^ X. сит 'Х
1 р
Теорема Колмогорова очень близка по формулировке к известной в алгебре логик теореме Слупецкого (см. Г22] ):
Если X - конечное множество, то существует функция двух пере-
/-б л
• X —>Х такая, что любая функцияХ—мпредетавляется В виде суперпозиции одноместных функций И функции р
Поскольку конечные множества суть пространства с дискретной топологией, то возникает вопрос: для каких топологических пространств - кроме конечных множеств - справедлива теорема Слупецкого, другими словами, существуют ли топологические варианты теоремы Слупецкого? Ответ: да. Например, компактные абелевы группы Ли [10] Поскольку доказательства подобных результатов для некоторых пространств существенно используют либо саму теорему Колмогорова, либо ее модификацию, данную Острандом, то в дальнейшем будем называть их теоремами Колмогорова-Слупецкого о суперпозициях. Соответственно задачу о представлении функций VI переменных на пространстве X со значениями в X в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных будем называть задачей о суперпозициях для пространства

Прежде чем перейти к изложению результатов нам необходимо формализовать само понятие суперпозиции. В диссертации для этой цели используются два языка: итеративные алгебры ' Поста и алгебры Менге-ра Приведем соответствующие определения, следуя ПЗ] , [32] , [41].
Для любого множества X пустьТ (X) - совокупность всех к -мест-к
ных функций Х-Х , Т(Х) = и РОГ) . На множестве РОс]
к=* у ~ л
определим четыре одноместные операции Ц, с 7 Л ?У и двуместную

4 Г к'О’кЧ5кЧг ^хМ,Схе,Уг
*1 Ч ; £ 2 1 К1 Ч) К1
; 0011 *{1010; оооо ^Ьаю; ооо1 )
По индукции
^к1?1 Ь*Р1 Ь* 0* • иаР& 1& Р2
11>К81$9"Ч%Н^ПН> К1 Ч» Кё С2г-;КП+1 П+1
^10^1; к* I1 ' к2[* к*
Ч> 11 *а*&Г">н*'пм’П21'&>“У*ПН пн
Лемма доказана.

Известно (см. [10] ), ЧТО если ^ — (р,^) • СтЛ—?Т3 то для функций , Ъ =^£ имеет место разложение