Новый подход к классификации зацеплений и алгоритмическому распознаванию тривиального узла

• Автор: Дынников, Иван Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 140 с.

Глава 1. Классификация неориентированных зацеплений с
помощью полугруппы
§1.1. Неориентированные п-страничные зацепления
§1.2. Кодирование специальных п-страничных зацеплений
§1.3. Конструкция конечно определенных полугрупп с центром,
классифицирующим зацепления
§1.4. Категория плетений и полугруппа плетений
§1.5. Полугруппа п-страннчных плетений
§1.6. Построение гомоморфизма Т —> У„
§1.7. Вывод «коротких» соотношений вУп
§1.8. Вывод «длинных» соотношений в полугруппе У„
§1.9. Завершение доказательства изоморфности У„ и У®
§1.10. Центр полугруппы Уп
Глава 2. Классификация ориентированных зацеплений с помощью
полугруппы
§2.1. Ориентированные 2п-страничные плетения
§2.2. Ориентированные плетения
§2.3. Проверка соотношений в Zn
§2.4. Завершение доказательства предложения 2.2 и теоремы 2
Глава 3. Распознавание тривиального узла и факторизация
зацеплений с помощью монотонного упрощения
§3.1. Теорема о монотонном упрощении
§3.2. Книжные зацепления и прямоугольные диаграммы
§3.3. Элементарные движения книжных зацеплений
§3.4. Обобщенные движения
§3.5. Схема доказательства теоремы 3
§3.6. Характеристические поверхности
§3.7. Преобразования характеристической поверхности
§3.8. Всегда присутствующие фрагменты слоения Т
§3.9. Упрощение характеристической поверхности
§3.10. Полное разложение на простые
§3.11. Алгоритм для распознавания тривиального узла и факторизации
зацеплений
§3.12. Оценка сверху для числа дополнительных пересечений, достаточных для распутывания плоской диаграммы тривиального узла
Приложение
Список литературы

Теория узлов является классическим разделом топологии, активно развивающимся с конца XIX века. Центральное место в этой теории занимает проблема классификации узлов и зацеплений в трехмерном пространстве. На обычном языке это означает описать все способы, которыми можно завязать веревку (в случае зацеплений — несколько веревок).
Под узлом или зацеплением в настоящей работе всегда подразумеваются так называемые ручные узлы и зацепления. Это понятие в точности отвечает нашему представлению о «физических» узлах. Поэтому мы сразу дадим определение таким образом, чтобы исключить так называемые дикие узлы (в которые можно завязывать только бесконечно тонкие веревки).
Итак, зацеплением мы будем называть объединение конечного числа попарно непересекающихся простых кусочно гладких замкнутых кривых в трехмерном пространстве К3 или трехмерной сфере 53. Эти кривые могут быть наделены ориентацией, в этом случае мы будем говорить об ориентированном зацеплении. Зацепление из одной связной компоненты называется также узлом. Зацепление (или узел) называется тривиальным, если оно эквивалентно зацеплению, целиком содержащемуся в некоторой плоскости.
Под простой кусочно гладкой кривой понимается одномерное РЬ-под-многообразие в К3 (или 53) для РЬ-структуры, заданной некоторой гладкой триангуляцией.
Два зацепления Ь и V называются эквивалентными или объемлемо изотопными в К3 (или £3), если существует кусочно-гладкий гомеоморфизм к : К3 —* К3 (или, соответственно, /г : 53 —* 53), изотопный! тождественному и переводящий Ь в И (с учетом ориентации, если речь идет об ориентированных зацеплениях).
Хорошо известно [54, 55], что в определениях зацепления и объемлемой изотопности условие кусочной гладкости можно заменить на кусочную линейность или гладкость, и получится эквивалентная теория. Известны

также другие способы определить эквивалентность зацеплений, дающие те же классы эквивалентности. Например, для гомеоморфизма h достаточно требовать сохранение ориентации пространства R3 (то есть, чтобы его степень равнялась единице). Мы не останавливаемся подробно на этих вопросах, считая их общеизвестными.
Хорошо известно также, что для классификации не имеет значения, рассматривать ли узлы и зацепления в Ж3 или в S3. При одноточечной ком-пактификации пространства К3 получается сфера, что дает сопоставление каждому зацеплению в Ж3 зацепление в S3 и при этом: 1) отношение эквивалентности сохраняется; 2) каждый класс эквивалентности зацеплений в S3 содержит представителя, не проходящего через добавленную точку.
Множество всех классов объемлемой изотопии (ориентированных) зацеплений будет обозначаться через £ (соответственно, через £ог). Мы считаем также элементом множества £ (£ог) пустое зацепление.
На множестве £ (иди £ог) определена коммутативная и ассоциативная операция несвязной суммы: если X, X' — два класса эквивалентности (ориентированных) зацеплений, то в них найдутся представители L 6 X, L' G X1, лежащие по разные стороны от некоторой плоскости (или сферы S2 С S3). Тогда класс эквивалентности объединения L U L' является но определению несвязной суммой классов X и X' и обозначается через ХЛХ'. Легко показать, что это определение корректно, и что в полугруппах £ и £ог имеется однозначное разложение на неприводимые слагаемые, называемые неразводимыми зацеплениями. Нетрудно также указать бесконечный набор попарно неэквивалентных (ориентированных) неразводи-мых зацеплений и показать, что множества £ и £ог счетны. Таким образом, £ и £ог представляют собой счетно порожденные свободные абелевы полугруппы с единицей, роль которой играет пустое зацепление.
На множестве классов эквивалентности ориентированных узлов определена также операция связного суммирования. А именно, если К и /£> — два ориентированных узла в Ж3, расположенные по разные стороны от некоторой плоскости, то их связной суммой, обозначаемой К#К2, называется любой узел, полученный из Кг U К2 вырезанием дуг а С К и
Глава

изотопий и добавления/удаления тривиальных нитей, справедливость последнего утверждения сохраняется: если tl" ~ t", то в //" также есть нетривиальная нить, соединяющая точки на гоі,гц, ближайшие к переплету. Будем обозначать эту нить 7 для всех плетений, эквивалентных t".
Плетение t получается из t" удалением нити 7. По предположению о центральности плетения t мы имеем t' ~ t". Поэтому удалением нити 7 из t' получается плетение, эквивалентное t.
Таким образом, при следующей операции из плетения t получается эквивалентное: сначала мы умножаем его слева на ао, а потом удаляем одну из связных компонент, край которой лежит в Пі. В результате умножения на ао по крайней мере один (возможно, два) левый «хвост» плетения t исчезает, и при этом добавляется не более одного «хвоста» справа. При удалении нити 7 исчезает два правых «хвоста». Таким образом, и в dot, ив dt уменьшается количество точек. Итерируя эту процедуру, получаем п-страничнос плетение, эквивалентное t и не имеющее точек края, т.е. зацепление.
Доказательство теоремы 1 закончено.