Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой

• Автор: Петров, Алексей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Оглавление
Введение

0 Основные определения и известные результаты

1 Отслеживание для систем с аксиомой А

1.1 Базовые понятия и определения

1.2 Условие С°-трансверсальности для систем с аксиомой А

1.3 Основной результат

1.4 Локальная конструкция

1.5 Доказательство основного результата

2 Функции Ляпунова, свойство отслеживания и топологическая устойчивость

2.1 Ляпуновские функции и отслеживание
2.2 Топологическая устойчивость
2.3 Отслеживание в окрестности иегиперболической неподвижной точки
2.3.1 Одномерный случай
2.3.2 Случай размерности два: изолированная неподвижная точка
2.3.3 Случай размерности два: неизолированная неподвижная точка
3 Отслеживание в случае кубического касания и в окрестности сепаратрисы
3.1 Отслеживание в окрестности сепаратрисы
3.1.1 Предположения о системе
3.1.2 Основной результат
3.2 Отслеживание в случае кубического касания
3.2.1 Основные определения
3.2.2 Формулировка основного результата
3.2.3 Вспомогательные леммы
3.2.4 Доказательство основного результата
Заключение
Список литературы

Введение
Данная диссертация посвящена изучению некоторых связей между свойством отслеживания приближенных траекторий гомеоморфизмов метрических пространств и диффеоморфизмов гладких многообразий и различными объектами, характеризующими динамику этих гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (например, типами пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, наличием специальных аналогов функций Ляпунова и пр.).
Отметим ряд результатов в этом направлении.
Известно, что для диффеоморфизма / замкнутого многообразия М следующие три утверждения эквивалентны (доказательства содержатся в [1], [2], [3], [4], [5]):
(1) / удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;
(2) / структурно устойчив;
(3) / обладает липшицевым свойством отслеживания.
Часто диффеоморфизмы, удовлетворяющие одному из условий (1) или (2) (а, следовательно, и всем остальным), называют “системами с гиперболическим поведением”. В данной работе мы также будем придерживаться этого названия. Кроме того, слово “система” будет для нас синонимом термина “гомеоморфизм метрического пространства” или “диффеоморфизм гладкого многообразия” (в зависимости от контекста).
В связи с эквивалентностью пунктов (1) и (3) представляется естественным исследовать условия наличия свойств отслеживания для систем, удовлетворяющих аксиоме А. Так, выполнение аксиомы А означает, что неблуждающее множество исследуемой системы достаточно “хорошо устроено” с точки зрения глобальной качественной теории (оно гиперболично, и в нем плотны периодические точки). Изучая такие системы в теории отслеживания, естественно предположить, что условия наличия свойства отслеживания могут быть выражены в терминах, описывающих взаимное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий неблуждающих траекторий. Например, если эти многообразия трансверсальны в стандартном дифференциально-топологическом смысле (т.е. если выполнено строгое условие трансверсальности), то, как уже было сказано, система структурно устойчива и обладает липшицевым свойством отслеживания. В случае, если фазовое пространство системы / (т.с. многообразие М) двумерно, то удастся получить необходимое и достаточное условия наличия свойства отслеживания, накладывая условия на характер пересечения устойчивых и

неустойчивых многообразий! (а именно, устойчивые и неустойчивые многообразия должны пересекаться С°-трансверсалыю) [6], [7|.
В главе 1 мы показываем, что если размерность фазового пространства системы больше 2, то никакие разумные обобщения понятия трансверсальности не применимы для получения необходимых условий отслеживания. Результаты, изложенные в этой главе, содержатся в работе |8|.
Отметим также работу Левовича [9]. В ней, в частности, доказывается, что гладкий диффеоморфизм замкнутого многообразия топологически устойчив, если для него существует так называемая невырожденная функция Ляпунова. Отметим, что топологическая устойчивость сильнее, чем свойство отслеживания (и эти свойства эквивалентны для экспансивных систем на замкнутых многообразиях, см. |5]).
В главе 2 мы исследуем связь между топологической устойчивостью, свойством отслеживания и наличием у системы аналогов функций Ляпунова. Мы приводим достаточное условие наличия свойства отслеживания у гомеоморфизма компактного метрического пространства (само условие формулируется в терминах геометрических объектов, порожденных двумя функциями Ляпунова), а также исследуем наличие свойства отслеживания у негиперболических систем с помощью полученных условий. Результаты, изложенные в главе 2, содержатся в работах [ 10], [11).
Как уже отмечалось, для диффеоморфизма / замкнутой поверхности М, удовлетворяющего аксиоме А, свойство отслеживания эквивалентно С°-трансверсалыюсти устойчивых и неустойчивых многообразий (данные результаты содержатся в [0] и [7]). В связи с этим представляют интерес следующие два вопроса: можно ли сформулировать необходимое и достаточное условие гельдерова свойства отслеживания (соответствующее определение приведено ниже) в терминах пересечении устойчивых и неустойчивых многообразий? И возможен ли какой-нибудь аналог отслеживания при не С°-трансверсалыюм пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий? В главе 3 мы исследуем эти два вопроса. Мы показываем, что для модельного примера в случае кубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий система класса гладкости С1 обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера причем значение показателя Гельдера .можно повысить до |, если система обладает классом гладкости С2, а также приводим пример системы класса гладкости С1 с кубическим касанием устойчивого и неустойчивого многообразий, не обладающей гельдеровым свойством отслеживания с показателем гельдера у £ (|Д]-
Мы также изучаем в модельном случае отслеживание в окрестности сепаратрисы, ведущей из седла в седло. Конечно, как следуют из результатов [6], в этом случае система не обладает классическим свойством отслеживания. Тем не мснсс, можно ожидать отслежива-емость псевдотраекторнй специального вида, например, в случае, если пошаговая ошибка псевдотраектории £ = {£„}, сНз1(/(£п), ^,,+т), не превосходит ,,/)", где й,а > 0, а / —
сепаратриса. Мы показываем, что в трубчатой окрестности сепаратрисы псевдотраектории

Отметим, что Д отличается от Д — на промежутке х £ [3 + у,5] мы оставили значение /12 тем же, что и при х £ [1,3], тем самым избежав пересечения устойчивого многообразия в точке Т и неустойчивого многообразия в точке Т2.
Зададим диффеоморфизм / на множестве но формуле
/(Р) = (^2,^1)"1(/2((<^2,'01)(р)))-
Отметим, что для точек р € ((01,У>1)_1( Поскольку для каждой точки х £ [0,8] отображение
(у,г) ^ Ы{х,у,г), г = 1,
линейно, то / продолжимо на все многообразие 51 х £2, и ясно, что это продолжение является С1-гладким диффеоморфизмом многообразия 51 х 52.
Нам также будет удобно ввести на многообразии М риманову метрику специального вида. Снабдим многообразие М римановой метрикой (ПяН-, •), такой что для р,д 6 (0ьУ’1)_1((—1,9) х [—10,10] х [—10,10]) выполнено
(Ш(р,д) = {(рх - д*)2 + {ру- Яу)2 + (рг - Яг)2)К (1.5.1)
где (Фиф1)(р) = (Рх,Ру,Рг), {ФиФ){я) = {Цх&уДг)- Также мы можем считать, что аналогичное утверждение имеет место и для точек
РЛ е (02,У’1)_1((—1,9) X [-10,10] х [-10,10]).
Отметим, что / имеет четыре неподвижные точки. Две из них — это точки
(0ьУ'1)"1(Т1),
(ФиФ1)-Т2),
где Т) = (0,0,0),Т2 = (8,0,1), как и раньше. Эти точки (принадлежащие М) мы для простоты обозначений также будем обозначать через Т и Т2, соответственно. В карте ((01,1/11), [/1 х V)), отображение / совпадает с Д, построенным в предыдущем разделе, так что все сказанное ранее про Д имеет место. В частности, система / не удовлетворяет условию С°-трансверсильности. Оставшиеся две неподвижные точки — это
То — (51,112),