Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр

• Автор: Никонов, Игорь Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с.

Введение
Характеристические классы возникают в качестве гомологических инвариантов при изучении различного рода структур на геометрическом объекте. Исследование и использование таких инвариантов стоит в ряду основных задач алгебраической топологии. Впрочем, в самой алгебраической топологии под характеристическими классами чаще всего понимают классы векторных расслоений. За семьдесят лет, прошедших после доклада Е. Штифеля на знаменитой Московской топологической конференции в 1935 году - точки отсчёта своей истории, теория характеристических классов пережила свою зрелость, дав множество приложений, касающихся классификации многообразий, и оставив след в теории кобордизмов, теории индекса и, конечно же, Л’-теории, пока неожиданно она вновь не оказалась в самом центре современной математической жизни в связи с развитием некоммутативной геометрии.
Появление конструкции некоммутативных характеристических классов в начале 80-х гг. прошлого века стало одним из первых крупных достижений зарождающейся некоммутативной геометрии. Из многочисленных определений характеристических классов векторных расслоений наиболее полезной оказался дифференциально-геометрический подход Черна-Вейля, который допускал простую переформулировку на языке алгебры с заменой геометрических объектов (многообразие, расслоение) на алгебраические (соответственно, алгебра функций, проективный модуль сечений расслоения). Первая конструкция в духе такого подхода была предложена А. Конном в связи с его исследованиями С*-динамических систем. Характеристические классы, построенные Конном, принимали значения в когомологиях алгебры Ли векторных полей, задающих динамическую систему и не покрывали классический случай. Развитие идей Конна нашло своё выражение в конструкции A.C. Мищенко, Ю.П. Соловьёва, Ю.Й. Жураева и, в полной общности, в конструкции М. Каруби. Обе конструкции различаются в определении некоммута-
тивных дифференциальных форм, в чьих когомологиях должны лежать характеристические классы. Определение характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёва исходит из того, что аналогом векторных полей на многообразии в некоммутативном случае может служить алгебра Ли дифференцирований на алгебре ’’функций”, далее формы де Рама, как и в дифференциальной геометрии, определяются как кососимметричные полилинейные функции на некоммутативных векторных полях. Конструкция Каруби опирается на достаточно размытое понятие дифференциального исчисления. Носителем характеристических классов в этом случае являются когомологии абелинизации дифференциального исчисления.
Может показаться удивительным, что за двадцать лет существования некоммутативных характеристических классов накопилось не так много методов и самих примеров их вычисления (см. [16]). Настоящая диссертация вслед за работой [6] призвана заполнить этот пробел. С этой целью для изучения выбран класс аппроксимативно конечных С*-алгебр, определённый О. Браттели в 1972 году. Этот класс алгебр является довольно многочисленным и содержит многие (хотя и не все) примеры и контрпримеры к различным утверждениям теории С*-алгебр. Определяемые как прямые пределы конечномерных С'*-алгебр, эти алгебры близки к полупростым алгебрам, чьё изучение начато в работе [6]. Среди других фактов, свидетельствующих в пользу выбора аппроксимативно конечных алгебр, является удобное комбинаторное описание (с помощью диаграмм Браттели) и наличие полной классификации, полученной Эллиоттом.
Перейдём к изложению содержания диссертации, состоящей из четырёх глав.
Первая глава посвящена описанию основной используемой в работе конструкции — конструкции некоммутативных характеристических классов. Содержание этой главы, в целом, является известным (см. [2, 12, 16, 19, 22]), за исключением параграфа 1.3, где строится отображение характеристических классов Каруби в характеристические классы Жураева-Мищенко-Соловьёва, и последнего параграфа главы, в котором доказывается единственность характеристических классов.
В первом параграфе вводится понятие дифференциального исчисления (определение 1.1), которое в некоммутативной геометрии служит аналогом форм де Рама. Далее приводятся примеры двух известных семейств дифференциальных исчислений (примеры 1.1-1.4). Первым среди них является универсальное дифференциальное исчисление (пример 1.1), подтверждающее предложением 1.1 свои права на такое название. Завершается параграф предложением 1.3, в котором показано, как морфизмы
связывают между собой введённые ранее дифференциальные исчисления.
Второй параграф содержит описание конструкции характеристических классов Каруби, изложению которого (см. [22]) мы следуем. Эта конструкция, по-существу, повторяет известные в дифференциальной геометрии построения Черна-Вейля: от связности (определение 1.3) через понятие кривизны (определение 1.4) с помощью следа (определение 1.5) мы приходим к определению характеристических классов (определение 1.6). Ввиду той особой роли, которую играет последнее определение в настоящей работе, теорема 1.8 и вспомогательные утверждения о корректности и существовании характеристических классов даны с доказательством. В параграф включены предложения 1.9, 1.10, описывающие некоторые простые свойства определённых характеристических классов сп(Е, Г2*): аддитивность и приведённость по первому аргументу и функториаль-ность по второму. Последнее свойство позволяет закрепить доминирующую роль за универсальными характеристическими классами (предложение 1.11 и определение 1.7). В замечании 1.4, завершающем параграф 1.2, вводится нулевой характеристический класс со(Е,П*).
В параграфе 1.3 мы рассматриваем альтернативную конструкцию характеристических классов, предложенную Мищенко А. С., Соловьёвым К). П. и Жураевым Ю. Й. в [2, 3, 4]. Её построение (см. определения 1.8, 1.9, 1.10, 1.11) развёртывается параллельно рассуждениям предыдущего параграфа, и на каждом этапе мы устанавливаем связь между этими двумя конструкциями. На уровне связности и кривизны эта связь заключена в предложении 1.16, где строится биекция между связностями (кривизнами) в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёва и связностями (кривизнами) Каруби для дифференциального исчисления А);
на уровне цепных комплексов, в чьих когомологиях лежат характеристические классы — в лемме 1.18. Установленное соответствие позволяет доказать корректность определения 1.11 (теорема 1.14) и построить отображение, переводящее характеристические классы Каруби в классы Жураева-Мищенко-Соловьёва (теорема 1.19).
Основной целью параграфа 1.4 является построение отображения периодичности 5, понижающего порядок универсального характеристического класса на единицу. Для этого мы определяем хохшильдовы и приведённые циклические гомологии ассоциативной алгебры с единицей (определения 1.13, 1.14), строим операторы 5, В,1, образующие последовательность Конна, и доказываем её точность (теорема 1.25). Далее приводится прямое доказательство теоремы Каруби (теорема 1.26), позволяющей перенести оператор периодичности 5 на универсальные характеристические классы (предложение 1.28). В доказательстве этих теорем мы
где элементы фц(Х,..., Хп) G А определены равенствами

[ф(Хи ...,Х„)](Ре;) = ЕС*‘ ’Х")

для всех 1 < г < I.
С другой стороны, модуль Е 0.д A%(D. А) выделяется в свободном модуле А®1 ®а Sl*z{D,A) проектором Р ® id. Тогда

Тг(Ф*(^))-Е^ mod [n*z(D,A),n*z(D,A)},

где для каждого 1 < i < I

[Ф,(ф] ((Р 0 1)(е4 ® 1)) = Ф'л е «я(А А

и таким образом,

[тт. О Тг (Ф* (^))](АГ1,..., Л0) = Е • •, *») mod [А, А].

Но из определения отображения Ф* следует, что для каждого 1 < г < I i
Е 0 • Ф'1г(Х1Х„) = [Ф* (ф) (Pet 0 l)](Xb ,.,Ii) =

[Ф(хи...,хЖРа) = Е,х„) j=
и потому ф'ц(Хи ..., Л'„) = 0;г(А"ь • ■ •, Х„). Следовательно,
[тг* о Тг (Ф* (0))](ХЬ ..., Хп) = [(тгя)*()](Хь ..., Хп).
Так как выбор ф и Х... ,Хп произволен, то (пе)* = я* о Тг о Ф*. □
Замечание 1.5. Отображение я* — изоморфизм, если А коммутативна или D является конечиопорождённым проективным 2-модулем.