Классификация замкнутых односвязных шестимерных многообразий

• Автор: Жубр, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 256 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Редукция классификационных задач

§1.1. Спинорные структуры на неспинорных многообразиях.

Группы 0®pin(X;/) и Ш^П(Х;/)

§1.2. Предварительные классификационные теоремы (классификация в терминах бордизмов). Инварианты 0 и

Глава 2. Вычисления

§2.1. Необходимые сведения о гомологиях пространств K(G,2) .

§2.2. Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха для функторов П*рш(Х; /) и Ш*рш(Х; /): вычисление члена

£2 и дифференциала d?

§2.3. Группы ns/in(G,2- w) и tQs/m(G, 2; w): вычисление члена £3 спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха
в размерностях до 6 и некоторые следствия
§2.4. Спектры и главные расслоения спектров — несколько технических утверждений
§2.5. Спектры Тт и их когомологии
§2.6. Вычисление групп ngpm(Z2", 2)
§2.7. Вычисление групп Hgpin(Z2m,2; р2)
§2.8. Вычисление групп f2gpm(Z2» | Z2m, 2; р2)
§2.9. Вычисление групп QßPm(£7,2; w) и iQgpm(G, 2; w)
Глава 3. Классификационные теоремы и применения
§3.1. Топологическая классификация
§3.2. Гомотопическая классификация
§3.3. Некоторые примеры
Литература
Список таблиц
1. Спектральная последовательность Бокштейна для К(22, 2), случай т >
2. То же, т =
3. Спектральная последовательность Бокштейна для К(7. зт> 2), случай т >
4. То же, т =
5. Группы Нг(Хп, 2)
6. Группы Ні(Хп,2)
7. Группы Нг(Є, 2; 2г)
8. Группы £р 9(С, ш), случай т >
9. То же, случай т =
10. Группы Нг(ВЗріп) и Нг(ВБО)
11. Группы Нг(Вт)
12. Вычисление Г^рт (22п, 2): группы ГР(1К(22т))
13. То же: группы і7*(Т8ріп А2))
14. То же: группы 17* (Х4)
15. То же: группы 77*(Хб)
16. Вычисление ІІ0Р1П(22т,2; р2): группы Сокег(/о)*
17. То же: группы 77*(Х2)
18. То же: группы Н (Х4)
19. Вычисление (Х2п (Ж2т,2; р2): группы Нг(У)
20. То же: гомоморфизмы /4 : Нг(Х4) -> Нг(¥)
21. То же: гомоморфизм /5 : Н8(Х5) —> Н8(¥), случай т ^ п .
22. То же: гомоморфизм /| : 778(Х5) —> Л8(¥), случай т > п .
23. Спектральная последовательность оснащенных бордизмов
для З2 х Б
24. Спектральная последовательность оснащенных бордизмов
для односвязного 6-мерного многообразия

Введение
(исторический обзор и краткое описание содержания)
Мощные средства топологии многообразий, появившиеся в конце 50-х — начале 60-х годов, такие как теоремы об /г-кобордизме и з-кобордизме, методы вычисления групп бордизмов и хирургия, сделали возможным решение многих классификационных задач для многообразий тех или других типов. Среди этих последних можно выделить как принципиальные, сыгравшие большую роль в дальнейшем развитии теории как, например, классификация гомотопических сфер (Кервер-Милнор) или гомотопических торов (Кассон-Сян-Шейнсон-Уолл), так и более частные, однако тем не менее представляющие интерес как примеры применения общих методов и как “экспериментальный материал”. К этому разряду можно отнести и задачу классификации всех односвязных замкнутых многообразий в “стабильных” (т. е. начиная с 5) размерностях. С ростом размерности эта задача очень быстро усложняется, так что рассчитывать на сколько-нибудь окончательные результаты можно, видимо, лишь в размерностях 5 и 6. Следует заметить, что попытки применения подхода, основанного на классификации “гладких структур на заданном гомотопическом типе” (теория Браудера-Новикова), для получения такого рода результатов вызывают весьма труднопреодолимые проблемы (см. по этому поводу ниже, в частности §3.3).
Первый результат, относящийся к указанной задаче и дающий частичное решение для размерности 5, был получен Смейлом в статье [47], появившейся сразу вслед за его работами [48, 49] о разложениях на ручки и об /г-кобордизме и представляющей собой приложение результатов этих работ. В [47] приводится классификация замкнутых односвязных 5-мерных гладких многообразий М, удовлетворяющих дополнительному условию Ю2 (М) = 0 (иначе говоря, спинорных). Инвариантом, определяющим дифференциально-топологический тип многообразия, оказывается его двумерная группа гомологий, рассматриваемая с точностью до изоморфизма. Для каждого к ^ 2 в работе Смейла явно указывается некоторое многообразие Мк с Д2 (-/Ид,) й 2& 0 Ък] основная теорема (теорема А) утверждает, что произвольное многообразие рассматриваемого типа диффеоморфно

Пара отображений д : М -4- X, д : М —» BSO, удовлетворяющая условию fog = тгод — это, иначе, отображение М —У Bxj, накрывающее как д, так и ц. Если теперь мы рассмотрим гомотопию Ft : М —>■ BSO, соединяющую отображение д с отображением (см. второе определение Spin(/)-структуры в п. 1.1.3), то эта гомотопия поднимается в Bxj и дает отображенияе V : М —>• Bxj, накрывающее гм, и проектирующееся в X в отображение, гомотопное отображению д. Мы, видим, что сингулярное Spin(/)-многообразие в X — это, с точностью до гомотопии (тем более, до бордизма), то же самое, что {Bxj, /)-многообразие в терминологии [51], так что наши группы fi?pm(X; /) — не что иное как Qi(Bxj,f)-
Определения 1.1.2-1.1.11 не содержат, таким образом, ничего принципиально нового. Они имеют технический характер и подготавливают формулировки следующего параграфа и вычисления главы 2.
1.1.16. Топологический случай. Группы Ш?р1П(Х, А; /). Стандартные теоремы о Top-расслоениях и о нормальных расслоениях топологических многообразий [28, Essay IV] позволяют перенести все то, о чем говорилось выше, на топологический случай. Во первых, из [28, Essay IV, предложение 8.1] следует, что имеется универсальное ориентированное Тор-расслоение
7sToP = {ftsTop : XSTop —> BSTop} ,
и что для всякого ориентированного Тор-расслоения имеется “почти каноническое” (в том же смысле, как и в п. 1.1.1) классифицирующее отображение в пространство J3STOP. Универсальный класс W2 определяет, как и в 1.1.2, расслоение
7sPinTop = -faspinTop : XSpinTop -> BSpinTop} ,
что позволяет ввести понятие Spin (/)-структуры на ориентированном Тор-расслоении дословно так же, как в 1.1.2-1.1.3, и проверить выполнение тех же свойств, что и в 1.1.6. Наконец, согласно теоремам о существовании и единственности нормального расслоения для топологических многообразий [28, Essay IV, теоремы А1 и А2], для ориентированного топологического многообразия М имеется “почти каноническое” нормальное отображение им : М —> В STOP. Все это позволяет перенести конструкции пп. 1.1.9-1.1.11 на категорию топологических многообразий и, в частности, определить группы топологических бордизмов Ш®рш(Х; /) и Ш|]рш (X, А; /). Вопрос о выполнении аксиом Стинрода-Эйленберга для функтора Ш®р1П (X, А; /) является нетривиальным лишь в связи с “аксиомой вырезания”, которая тесно связана с теоремой трансверсальности для