Отображения поверхностей, содержащих конгуэнтные семейства линий в евклидовом пространстве En.

• Автор: Фарафонова, Г.М.
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 131 c. : ил

ГЛАВА I. Отображения Q р-мерных поверхностей, содержащих соответствующие конгруэнтные сеглейства ли—
НИИ в Е и

§ I. Основные уравнения, определяющие отображения

§ 2. Отображения сд поверхностей в Е 5 , содержащих по два соответственно конгруэнтных семейства линий

§ 3. Некоторые частные случаи отображений ^ поверхностей в Е 2

§ 4. О соответствии конгруэнций прямых при отображении ^ поверхностей в Е г

ГЛАВА 2. Отображения р- мерных поверхностей в Eh

§ I. Основные уравнения и свойства, определяющие

отображения 2-с ъ

§ 2. Отображения поверхностей в Е3

§ 3. О конгруэнциях, образованных прямыми репера,
Френе, для линий на гиперповерхностях вЕ„
ГЛАВА 3. Отображения в
§ I. Определение отображений д.ъ Б„ . Теоремы существования отображений д£ в Еч
■ § 2. Необходимые и достаточные условия существования отображегшй Егорова в Е 3
§ 3. О соответствии конгруэнций прямых при отображении д
§ 4. Частные случаи отображений gz в Е3
ЛИТЕРАТУРА
Актуальность темы.
В данной работе рассматриваются точечные отображения р- мерных поверхностей /р —?> УрВ п - мерном евклидовом пространстве Еп , при которых однопараметрическому семейству X линий )(V соответствует конгруэнтное семей-
~ V V
ство Л линий 5 с V р ( два семейства конгруэнтны, если соответствующие лиши семейств конгруэнтны).
В настоящее время имеется значительная литература по точечным отображениям ( [2.11 ,[2 2] ), Геометрия точечных отображений тесно связана со многими другими областями геометрии.
Основным частным случаем, рассматриваемых в данной работе отображений, являются отображения, изученные в Е3 Д.Ф.Егоровым (М). Д.Ф.Егоров в работе [6] рассматривал поверхность 2 как семейство ] Р } лиши, зависящих от одного параметра яг . Каждая линия семейства ] Р } подвергалась какому-то конечному смещению, которое непрерывно менялось от одной лиши к другой,и в результате получалось новое семейство | Р } и новая поверхность 5 , причем нормали
поверхности 5 не обязательно будут образами нормалей по-$
верхности
Д.Ф.Егоров рассматривал тот "замечательный частный случай, когда нормали поверхности, проведенные в точках одной линии лГ= си>»$-Ь г совпадут с нормалями поверхности в точках соответствующей линии, когда будут приведены к совпадению эти две лиши".
Д.«.Егоровым (Гб]) получен основной результат: для того чтобы данное семейство 1 1 линий на поверхности «5
допускало указанное преобразование, необходимо и достаточно, чтобы нормали поверхности S в точках каждой линии семейства принадлежали линейному комплексу.
Эта задача тесно связана, с практически важным вопросом о взаимном огибании поверхностей.
Р.И. Щербаков рассматривал отображение Д.Ф.Егорова. Он нашел натуральное уравнение указанного семейства, а затем рассмотрел аналогичную зада,чу в аффинной и проективной геометрии поверхностей ([2?]), а также решил аналогичные задачи в теории конгруэнций ([28]-[30]). Полученные на этом пути преобразования получили название "преобразований Егорова" ([ 311).
Преобразования Егорова, различных геометрических образов в проективном и неевклидовом пространствах рассматривались в работах Е.Т.Ивлева, ([п"]), В.И.Машанова ([15]), М.Б.Пергамен-щикова
A.П. Ерохина в работах ([7]-[9]) продолжила изучение преобразований Егорова для поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве и для линейчатых конгруэнций в различных пространствах.
М.А.Акивис в работе2]получил результат, аналогичный основному результату Д.Ф.Егорова, для проективной теории поверхностей. При этом роль линейного комплекса играет билинейная система плоских элементов. Из теоремы, доказанной М.А.Акиви-сом, может быть получен и основной результат Д.Ф.Егорова.
Один частный вид преобразований Егорова, для линейчатой поверхности рассмотрен в работе Георги Златанова (Iio]).
B.Я.Беркуцкий в работах ([3J—[5 J) исследует Е - отображения и преобразования Егорова в квазинеевклидовых пространствах (построил для поверхностей и линейчатых контру-

линий у , допускающие отображения ^ при условии, что анормалии конгруэнций касательных к линиям конгруэнтных семейств в соответствующих точках будут равны. Из равенства (1.4.I), (1.4.2) при условии (1.4.3) следует следствие.
СЛВДСТВИЕ I.4.I. Если при отображении ^ анормалии конгруэнций касательных к линиям конгруэнтных семейств равны, то равны и анормалии конгруэнций бинормалей к линиям этих семейств в соответствующих точках.
Верно и обратное утверждение.
п.2. Изучим соответствие развертывающихся поверхностей конгруэнций' касательных, бинормалей и главных нормалей к ли-ниям конгруэнтных семейств Z и И при отображении ß. а) Потребуем, чтобы при отображении ff развертывающиеся поверхности конгруэнций касателышх ^ и ^к линиям конгруэнтных семейств ^ иХ линий соответствовали. Имеет место теорема.
ТЕОРЕМА. 1.4.2. Для того, чтобы при отображении ff развертывающиеся поверхности конгруэнций касательных и к линиям конгруэнтных семейств соответствовали, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство:
1 - Z _ е (1.4.14)
I fbih'f рЬпЧ’
Для доказательства теоремы отнесем поверхность Vz ( У, ) к ортонормированному реперу ?L } ) - первого порядка, е± { ) - касательный вектор к линии с
•V ^ . . -V
( У ). семейства 21 ( ) в точке П ( П ). Для семейства Z ( Z ) линий выполняется система уравнений (I.1.27) ((1.3.2)), а условие соответствия и равенство диф-ферекциалов длин дуг семейств Z и Z примут вид:
(1.3.4). Уравнение, определяющее развертывающиеся поверх-