Геометрия поверхности, лежащей на гиперсфере

• Автор: Силаев, Евгений Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 c. : ил

ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ Ц> , ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРСФЕРЕ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ §1. Условие принадлежности поверхности 1/р гиперсфере в евклидовом пространстве Е«,

§2. О геодезических поверхностях, лежащих на

гиперсфере в евклидовом пространстве l

§3. Средняя и скалярная кривизны поверхности 1/р , лежащей на гиперсфере в евклидовом

пространстве

§4. О свойствах поверхности ^ на гиперсфере

в евклидовом пространстве

§5. Свойства поверхности в евклидовом

пространстве Е ^ , плоскость главной нормали которой проходит через неподвижную

точку
§6. О полях особых нормалей поверхности 'Ьр , лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве Е^
ГЛАВА 2. О ПРОЕКЦИИ Р-ПОВЕРХНОСТИ НА ГИПЕРСФЕРУ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§7. Проекция f 1 поверхности 'î'p на поверхность^77
§8. Связь форм реперов поверхностей ^ и Vj,
§9. Отображение 1^,
§10.Соответствие линий и сетей в отображении
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. В начале семидесятых годов этого столетия, а также в настоящее время большое внимание зарубежных (ЖёпЬРЫ) Уапо /42/, /43/, СА&п, Зонд-У-Яг* /37/ -/39/, /40/, /43/) и советских (Базылев В.Т. /3/, Белов K.M. /7/, Погорелов A.B. /22/, Лапковский В.К. /13/, Тихонов В.А?) математиков уделяется исследованию геометрии поверхностей, лежащих на гиперсфере в евклидовом пространстве Е^.
Настоящая работа является продолжением и дальнейшим развитием теории таких поверхностей.
Цель работы состоит в том, чтобы исследовать
- свойства поверхности 1/р , лежащей на гиперсфере, как поверхности эллиптического (п -i)-пространства и как поверхности в евклидовом К- -пространстве,
- свойства проекции р -поверхности на гиперсферу.
Общие методы исследования. Работа выполнена методом подвижного репера и внешних форм /34/. Все построения носят локальный характер, а используемые функции предполагаются необходимое число раз дифференцируемыми.
Научная новизна результатов. Основными научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:
- критерий принадлежности поверхности V~p гиперсфере в евклидовом пространстве ,
- оценка скалярной кривизны поверхности Цр , лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве Е*. »
Уь'
* - Доклад на научно-исследовательском семинаре при кафедре геометрии МГПИ имени В.И. Ленина.
- свойства поверхности V'p С Е^, плоскость главной нормали Яср[х) или средняя нормаль (ОС, М ) которой проходит через неподвижную точку,
- выделение поля особых нормалей поверхности Vp , лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве Е
- свойства проекции р-поверхности на гиперсферу в евклидовом пространстве Е
- соответствие линий и сетей в отображении £
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретических характер. Её результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрии подмногообразий в Е^, а также как материалы для спецкурсов в ВУЗах, где проводятся исследования по близкой тематике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре геометрии МГПИ имени В.И.Ленина.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /25/ - /30/ автора.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, а также списка литературы из 45 названий. Диссертация изложена на 118 страницах машинописного текста.
В первой главе содержится б параграфов, во второй -4. Параграфы имеют общую нумерацию.
Отметим основные источники и результаты, которые используются в диссертации.
В работе Жш&хЯО Ь'ШгО /42/ доказана теорема:
Пусть Vj> - подмногообразие сферы Syt-L в евклидовом пространстве Е^ . Тогда разность векторов средней кривизны многообразия Vj> по отношению к Е^и $

когда вектор средней кривизны поверхности параллельно переносится вдоль нее в связности нормального расслоения.
Такие поверхности существуют с произволом 2 функций I аргумента.
Заметим, что равенство о означает, что
то есть поверхность ^ по пункту I теоремы 3.1 является минимальной по отношению к гиперсфере $ СО, I) * ^° теоРеме 3.3 такая поверхность существует с произволом 2 функций I аргумента.
Известно /2/, что скалярная кривизна поверхности может быть найдена по формуле (3.19). Учитывая формулы (4.1), (4.2), (4.7), из (3.19) получим, что скалярная кривизна рассматриваемой поверхности равна:
£ = ^ + (4Л2) Так как векторы £*. подвижного репера Я направлены
с "У—7 <)
по касательным к линиям сети / ... , то формы и>- (С^)
главные:
<*>( =&ск,ЮК (^)- (4.13)
Так как сеть д.ортогональная, то
а-1ъ + в-^о- (4-14)
Из первого уравнения (4.11а) и равенств (1.9), (1.10), (4.13) получим:
СгйЛ и1 + (ёи- /Д)йиОЧ^О.
откуда
аи = ■ 7 % т (4Л5)

Аналогично, находим:
* _ (4.16)

р ч л I
»и